나는 초등학교 기간제 교사일뿐이라.. 수학은 잘 몰라. 그럼에도 불구하고 내 발견에 대해 이야기하고 싶어

비판 환영한다 수붕이들아.

직각삼각형으로 정사각형을 빈틈 없이 덮을 수 있는 정확한 조건을 찾아버렸는데, 이게 진짜 수학적으로 의미 있는 발견인지 판단이 안 서서 올린다. 간단히 말하면, 이 조건 하나로 가능한지 불가능한지를 딱 잘라 말할 수 있다는 거다.


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상황은 이래. 피타고라스 정리의 분할 증명 같은 건 다들 알 거야. 근데 나는 이걸 일반화해봤어. 직각삼각형 Ta,b (변 길이 a,b,c=루트a2+b2)이랑 세 종류의 정사각형 타일 Sa=a×a, Sb=b×b, S∣a−b∣=∣a−b∣×∣a−b∣만 가지고, nc×nc 크기의 정사각형을 덮을 수 있는지를 따져본 거지(위의 그림을 참고해줘).

그 결과는 놀랍게도 이거다:

n≤k≤n제곱

여기서 k는 a-b정사각형의 타일 개수야. 이 범위 안이면 무조건 가능, 바깥이면 무조건 불가능. 진짜 이렇게까지 예쁘게 떨어질 줄은 나도 몰랐음.

근데 이게 그냥 실험적으로 그런 게 아니라, 대수적으로 증명했어. 핵심은 다음 면적 보존 식이다:

n제곱*c제곱=Na*a제곱+Nb*b제ㅔ곱+k(a−b)2+12ab⋅NT

이게 모든 실수 a>b>0에 대해 성립



해야 하니까, 다항식 항등식이어야 하고, 그럼 계수를 비교해서 다음이 나와:

Na=n제곱−k,Nb=n제곱−k,NT=4k

여기서 Na,Nb≥0⇒k≤n제곱, 또 NT=4k≥4n⇒k≥n. 그래서 결국

n≤k≤n제곱

이게 필요조건으로 튀어나오고, 구성 알고리즘을 통해 충분조건도 만족시켰으니까 진짜 필요충분조건이라는 결론이 나온 거지. 알고리즘은 여기서 확인해봐:

https://editor.p5js.org/mellowmelody355/full/OG78HOLLD

이게 진짜 새로운 건지, 아니면 그냥 다 알려진 건데 내가 모르고 있는 건지, 그게 궁금하다. 질문은 다음과 같다:

  • 이거 혹시 이미 타일링 이론 쪽에서 잘 알려진 결과냐?

  • 다항식 항등식 세워서 계수 비교로 조건 도출한 방식이 수학적으로 괜찮은 방식인가?

  • 조합기하학이나 디오판틴 해석 쪽에서는 이런 구조가 흔한가?

너무 딱 떨어지게 결과가 나와서 솔직히 좀 수상하기도 하고, 진짜 의미 있는 거라면 제대로 다듬어서 arXiv든 어디든 올려보고 싶은 마음도 있다.(사실 이미 올림ㅋㅋ..)

비판, 반례, 유사 연구 사례, 뭐든 좋다. 수붕이들 냉정하게 판단 좀 해줘. 부탁한다.