뭐 근사 그런 거임?
아무리 생각해도 절대로 모든 경우에 사용하지는 못 할 거 같은데
아크탄젠트만 봐도 무한대 방향이 양이냐 음이냐에 따라 함수값이 달라지는데
그냥 연속함수인 애들한테만 유용한 거고 다른 경우는 쓰면 안 되는 건가?
닫힌 영역같은 거 미리 정해놓고 함수 정의했을 때, 전역적으로 그걸 일반화할 수 있는 함수에 있어선 쓰일 수 있을 거 같은데
그런 게 아닌 함수들에 있어선 무한대는 방향을 고려해야 할 거 같은데
아직 1학년이라서 ㅈ밥인지라 틀리게 생각하고 있는 부분들도 있을 수 있으니 있다면 댓글로 정정해주면 고맙겠음.
반지름이 무한대인 원의 외부니까 사방팔방 360도로 돌아봐도 모양이 대칭적이겠지? - dc App
복소평면만 봤을 땐 문제 없는 거 같긴 한데 함수에선 경우마다 달라지는 거 같아서 구분되어야 하는 게 아닌가 하는 생각이었어.
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복소함수론 입문에 무한원점이랑 리만구 있길래 질문한 건데 왜 그러니. 1학년이면 궁금해 해서도 안 되고 질문도 해선 안 되냐. 오히려 허세 부리는 건 그런 식으로 질문한 사람한테 꼽 주고 앉아있는 너일 지도 모른다는 생각을 해주면 좋겠어.
매우 많은 이유가 있지만 기하학적 관점에서 무한에 방향을 주지않고 점 하나로 통일하면 구와 리만구면이 동형이 된다는 점이 주목할 만 합니다 (무한히 넓은 복소평면 보자기를 감싸서 구형 만두 모양을 만든다고 생각하면 만두의 꼬다리가 무한이 되는 것입니다.) 그렇게 되면 구 위에서의 여러가지 기하학적 변환을 복소평면에서 대수적으로 가할 수 있게 되어 편리합니다
각 방향마다 무한대에 해당하는 점을 추가하려면 말 그대로 무한대를 무한개 도입해야 겨우 말이 되겠지만 (실제로 실수는 방향이 2개니까 +무한대와 -무한대 두 개를 추가할 수 있음), 방향을 구분하지 않기로 하면 그냥 무한대점 하나만 도입하면 되고 그러면 구가 되어서 다루기도 훨씬 좋아짐
그리고 단순히 0도부터 360도까지 각도마다 하나씩 무한대를 주는 것도 사실은 말이 안 되는게, 직선 말고 빙글빙글 곡선을 그리면서 원점에서 멀어지는 경우는 각도가 일정하지 않으니 이런 경우들도 각각 자기만의 무한대를 가져야 함. 결국 임의의 경로에 대해 무한대를 줘야하는데 이쯤되면 답이 없겠지
그렇다면 해석의 편의를 위한 결과라는 건가요?
네가 직접 무한대를 방향마다 추가해보면 뭔가 이상하다는 걸 알 수 있음. x축 방향으로 쭉 증가하는 무한대와 사인함수처럼 구불구불 오른쪽으로 나아가는 무한대와 사인함수*2처럼 더 구불구불 나아가는 무한대… 이런걸 전부 다 구분해야 한다는 거임. 무한대를 무한개씩이나 추가해봤자 딱히 유용하지 않을듯
그냥 그 전역세계가 어떤 방향을 인식할수있는 공간의 형태가 아니다 정도로 이해하면 편함
진짜 어떻게 해서라도 납득이 안되면 형식적인 구성으로 이해하는 것도 하나의 방법임. 결국 복소수가 스칼라인 세상에서 사영직선을 구성하려고 하면 자연스럽게 C에 무한점 하나 더한 도형이 나옴
개인적인 생각이지만 이런 질문이나 고민은 꽤 마음에 듭니다. 위상다양체의 compactification이 한 가지 방법으로 주어지지는 않으며 어떠한 기하학적 특성을 잘 유지하게/드러나게끔 boundary (~~ points at infinity)를 더해줄 것인가가 관건이니까요. 즉 의도와 목적이 달라진다면 그런 공간을 생각하셔도 됩니다.