[일반] 부분군의 위수가 군의 위수의 약수라는걸 직관적으로 이해할 방법 없을까

[익명(121.128)]

군의 심플한 정의와는 상반되게 굉장히 특수한 조건이라 이해하기가 힘듦..

[수갤러 1(114.207)]

H<G가 있을때, H가 G에 right multiplication에 의해 right action한다고 생각해보셈. 그럼 그 action에 대한 orbit들이 coset인거. action이나 orbit같은건 그나마 예시를 들면서 이해할만한 대상이니까 뭐 A_4 < S_4같은 예시를 생각해보면 납득은 될수도..?

[익명(121dot88)]

난 Z_n 으로 부분군 만들기 머릿속에서 n 계속 키워보면서 생각했었음

[익명(121dot88)]

Z_n의 부분군

[익명(218.152)]

군의 심플한 정의에서 가장 중요한게 역원의 존재임 역함수가 존재하는 함수는 일대일대응이잖음? 코셋들 크기가 다 같다는게 여기서 나오고

[ALTa(tladud123)]

자명하진 않으니까 증명이 필요한거고 그게 lagrange thm인 거지 증명을 그대로 따라간다면 결국 coset으로 이해해야 하는거고

[Oo(175.208)]

분할(partition). 무엇이든 분할이 있으면 세면 된다. 이게 가본 원칙이야. f;G->G’이라는 함수가 있으면 inverse image에 의해 G가 분할 돼. f가 특히 homomorphism이면 inverse image가 kernel의 coset으로 주어져. kernel의 각 coset의 원소의 개수를 센 뒤 다 더하면 G의 order 계산 돼.

[Oo(175.208)]

이걸 일반화한 게 subgroup의 coset이야. 다행히도 subgroup의 left coset도 kernel처럼 G를 분할해. 여기서부터 Lagrange theorem. group G가 집합 X에 act하면, orbit이 집합 X를 분할해. 각 orbi의 원소의 개수를 세서 다 더하면 X의 원소의 개수가 나와. group action마다 orbit은

[Oo(175.208)]

@Oo(175.208) 다양하고 그 때마다 다양한 공식이 나오지. 대표적인게 class equation. “분할(partition)과 세기(countion)“ 이게 바닥에 깔려 있는 기본 원리야.