함수 f가 x=a를 포함하는 열린구간에서 정의되어있고,
함수 f는 x=a에서 미분불가능하다
(지적해주셔서 조건 추가 : f는 x=a에서 연속이다)
함수 g는 x=f(a)를 포함하는 열린구간에서 정의되어있고,
함수 g는 x=f(a)에서 미분가능하다.
이때, 만약
함수 g(f(x))가 x=a에서 미분가능하다면,
반드시 g'(f(a))=0이다.
이거 증명을 어떻게 엄밀하게하나요?
만약
f(x)=f(a)를 만족하는 x가 존재하지 않는
a를 포함하는 열린구간 I가 존재하는 경우,
x->a인 상황에서는 x가 I에 속하는 경우만 따져도 되므로
lim x->a g(f(x))-g(f(a))/(f(x)-f(a)) * (f(x)-f(a))/(x-a)
에서 오른쪽항이 발산하므로 왼쪽항이 0으로 수렴안하면 모순되는데요,
만약 그 어떠한 열린구간을 잡더라도 그 구간속에
f(x)=f(a)를 만족하는 x가 존재해버리면,
(즉, x=a근방에서 f(x)=f(a)인 점이 무한히 많으면)
이 논리를 사용할수가없어요. 분모가 0이 안되는 구간을 잡을수가없어져버리니..
이경우는 어떻게증명해야 하나요?
고딩과정으론 증명이 힘든가요?
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귀류법 - dc App
귀류법써서1번케이스를증명한후 2번케이스증명이안되어서요 - dc App
내가 자다 깨서 그런가 왜 이해가 안 되지 g(x)=x, f(x)=x로 둬도 저게 성립하는 명제임?
f가 미분불가능해야죠 - dc App
@ㅇㅇ(118.235) 아
조건에 f가 a에서 연속이라는 조건이 추가되어야 할것 같슴니다.. 아니면 반례가 존재하는데, f(x)가 0을 제외한 곳에서 f(x)=x이고 x=0일 때 1의 값을 갖는 함수, g(x)=x(x-1)라 하면 f는 0에서 미분불가하고 g(f(x))가 f(0)=1에서 미분가능하지만 g'(f(0))=g'(1)=-1입니다
f거 a에서 연속이면 얘기가 달라집니다. lim {f(a)-f(x)}/(a-x)=lim [{g(f(a))-g(f(x)}/(a-x)]/[{g(f(a))-g(f(x)}/{f(x)-f(a)}]라 두면 좌변의 극한이 존재하지 않으므로 우변의 극한 또한 존재하지 않아야하는데
그런데 f가 a에서 연속이면 x->a일 때 f(x)->f(a)이므로 lim [{g(f(a))-g(f(x)}/{f(x)-f(a)}]의 값이 g'(f(a))가 되고, lim [{g(f(a))-g(f(x)}/(a-x)] 의 값은 가정에 의해 존재하므로 g'(f(a))값이 0이 아니게 되면 위 댓글의 식에서 우변이 존재하게 되는 것이므로 모순입니다
분모에 문자 순서를 잘못썼네요 [{g(f(a))-g(f(x)}/{f(x)-f(a)}]가 아니라 [{g(f(a))-g(f(x)}/{f(a)-f(x)}]입니당..
이 증명이 제가 본문에쓴 증명인데, 추가적으로 필요한게 f(x)=f(a)인 x가 a를 포함하는 열린구간을 아무리작게잡아도 무한히많이존재하면 분모에 f(x)-f(a)를 쓰고 극한을 조사할수가없어서 그게문제입니다. - dc App
g = x고 f =|x| a = 0이면 성립 안하는거 아녀?
그렇게 두면 g(f(x)) = |x|임
f가 연속임을 가정하면 성립하긴 함. 고딩과정으로는 살짝 어렵고 대충 설명해보자면 어떤 x=a에서 0으로 가는 함수 e가 존재해서 gf 함수의 x=a 근방의 기울기 함수를 [g'(f(a))+e(x)]*[f의 기울기 함수] 꼴로 표현할 수 있음을 알아서 귀류법으로 증명할 수 있음
모든 x=a근방에서 f(x)=f(a)인 점이 무한히 많으면 구간으로 다루지 못해서 막히나본데 이때는 G(x)를 (g(f(x))-g(f(a)))/(f(x)-f(a)) if f(x)=f(a) / g'(f(a)) if f(x)=f(a) 로 두고 G(x) · (f(x)-f(a))/(x-a) 로 두고 해봐
아 저기 하나는 ≠인데 잘못썼네
g의 도함수가 연속이라고 가정하면 꽤 간단하게 증명할 수 있음. g의 f(a)에서의 도함수가 0이 아니면 그 점 주변에서 미분가능한 역함수 h를 가지고, 따라서 f=h(gf)도 a에서 미분가능해야 해서 모순
연속 조건이 없으면 약간 더 노력을 하면 되는데, 우선 g가 f(a)에서 미분가능할 조건은 g(x)=C(x)(x-f(a))+g(f(a))를 모든 x에 대해 만족시키는 연속함수 C가 존재하는 것과 같다는 걸 쉽게 보일 수 있고, 이때 C(a)=g’(f(a))가 됨. 이제 이 식에 x 대신 f(x)를 대입하고 정리하면
[g(f(x))-g(f(a))]/(x-a)=C(f(x))[f(x)-f(a)]/(x-a)가 됨. 만약 C(f(a))가 0이 아니라고 하면, 양변을 C(f(x))로 나누고 x를 a로 보내면 f’(a)가 존재하게 된다는 결론을 얻어서 모순