유리수를 포함하지 않는 nonempty perfect set을 만드는게 목표인데,(Rudin Exercise 2.18)
이 증명 괜찮나요?
[0,1]내의 유리수는 countable하고, 각 유리수의 neighborhood(n번째 유리수의 radius는 epsilon/2^n)를 제거함으로써 남은 무리수들의 집합을 생각하고 있어요.
(메져는 안배웠지만... 직관적인 길이개념으로 nonempty라고 할게요)
이 남은게 closed in R이라는건 자명하고, isolated point가 있는지를 고민하다가
isolated point는 (있다면) 유한하다 를 먼저 보였습니다. ([0,1]이 compact하므로 그 안의 무한부분집합은 반드시 limit point를 가지고 이는 isolated point의 정의와 모순)
isolated point가 유한하므로, 그 중 가장 작은 고립 반경(?)을 특정할 수 있고, epsilon(=모든 neighborhood의 길이합<1)을 그보다 작게 조정해 버리면, 기존에 고립점이었던 점들은 더이상 고립점이 될 수 없게 되므로, 충분히 작은 epsilon을 잡아서 위와 같은 방식으로 nonempty perfect set with no rational 을 만들수 있다.
뭔가 제대로 정의하지 않은 길이개념을 써서 애매한것 같네요
고립점이 무한하다면 고립점의 집합은 limit point를 가지겠지만 그것이 다시 고립점이 된다고 말한 적은 없는데 어디서 모순인지 epsilon을 줄여서 기존의 고립점을 고립점이 아니게 만든다고 했는데 이건 가장 작은 수렴 반경(?)이 epsilon에 의존하지 않아야 하는거 아닌지 그리고 epsilon을 줄였을 때 새로운 고립점이 생겨나지는 않는지 확인이
헐 문제가 많네요 감사합니당