[abelian group] = [Z-module] Z는 정수집합
이 명제를 증명할 때, 나는 아래의 두 단계만 거치면 될 줄 알았음
1. abelian group G에 정수 스칼라 상수곱을 잘 정의하면 G는 Z-module이 된다는 것을 보인다.
2. Z-module M에 대해 가군의 정의로부터 (M, +) 자체가 abelian group이다
그러면 단계 1로부터 abelian group ⊂ Z-module 이고, 단계 2로부터 Z-module ⊂ abelian group 이라 abelian group = Z-module이 된다고 생각했음.
그런데 책을 보니까 단계 2에서 이걸로 그치지 않고 Z-module M을 abelian group으로 본 후, 다시 정수 스칼라 상수곱을 정의해주었을 때 원래의 M과 같아진다는 것까지 보여야 한다고 함. 단계 1에서도 마찬가지로 abelian group G에 정수 스칼라 상수곱을 정의해 Z-module로 본 후, 다시 상수곱을 잊어버리고 abelian group으로 봤을 때 원래의 G와 같아진다는 것도 보여야 하고..
예를 들어 단계 2의 경우 추가적으로 <원래
Z-module에서의 3x>=(1+1+1)x=x+x+x=<abelian group에서의 3x> 같은 작업을 거쳐야 한다는데
그 이유가 뭔지 궁금함...
-이인석 대수학 25-26p
굉장히 대충 말하자면 우리는 abelian group들과 Z-module 사이에 전단사가 있음을 보여야 하는데, 그러려면 서로에서 서로로 가는 대응이 존재한다는 것뿐만이 아니라 서로가 역함수 관계라는 것도 보여야 하겠지? 단순히 X에서 Y로 가는 대응과 Y에서 X로 가는 대응이 각각 있다고 해서 X와 Y 사이에 전단사가 있다는 보장은 없으니까
물론 abelian group들도 그렇고 Z-module 모아놓은 게 진짜로 집합이 되진 않을테니 전단사라는 걸 말할 때 약간 주의가 필요함
그럼 내가 단계 1, 2만 수행했을 때 얻은 결과는 그저 abelian group에서 Z-module로 가는 대응이 있다(단계 1)는 것과 Z-module에서 abelian group으로 가는 대응이 있다(단계 2)는 것 뿐이라고 볼 수 있는거임?
그렇지. 그리고 사실은 둘 사이에 단순한 일대일 대응이 있다는 것뿐만이 아니라 어떤 “매우 자연스러운 일대일대응”에 의해 상수곱, 덧셈과 같은 대수적 구조들이 정확하게 옮겨진다는 것도 중요한데 스텝 1, 2만으로는 이것도 보장이 안 되지
예를 들어 우리는 유리수와 자연수의 개수가 같다는 걸 알고 있지만 그렇다고 이 둘이 진짜 같냐고 하면 아무도 그렇게 생각 안 하겠지? 덧셈 구조도 다르고 곱셈도 다르니까. 하지만 abelian group과 Z-module은 그냥 진짜 완전히 같다는 거임
결국 구조 보존이 핵심이네... 잘 배우고 감!+
Set theory에서는 Schröder-Bernstein theorem 덕분에 A→B, B→A인 injection 2개만 찾으면 A와 B 사이의 bijection인 존재함이 보장됨. 하지만 Set이 아닌 object를 다룰 때는 이런 property가 성립하는지 보장할 수 없기 때문에 주의해야해서 그런 듯
말이 좀 이상하네. Set이 아닌 object를 다룰 때가 아니라 function이 아닌 functor를 다룰 때임
ㅇㅎ 함자가 여기서 나오는 놈이였구나.. 그럼 함자의 정의역과 공역은 어떻게 정의됨?
@수갤러1(211.234) 예를 들어 1번 방법에서 abelian group G를 Z-module로 옮기는 게 결국 mapping이니까 함자 F: Ab → Z-Mod를 정의한 거임. F의 정의역은 모든 Abelian group들과 그 사이의 group homomorphism을 모아놓은 Ab이고, 공역은 모든 Z-module과 그 사이의 module homomorphism을 모아놓은 Z-Mod임. 왜 갑자기 homomorphism이 끼어들었냐 하면, morphism도 보존해야 functor라고 정의하기 때문임
답들이 다 핀트가 나간것같은데. 생각해봐라 Z-Mod는 abelian group 자체를 포함하는데다 Z scalar multiplication까지 endow했음. 이 자체로 보면 Z-Mod는 abelian group보다 분명히 큰데 둘은 같다고 하니, 왜? 라고 생각이 드는 곳은 바로 저 Z scalar multiplication에 있겠지? 그게 이유임
위에 애들 맞는 말 하고 있는데?