지난 학기 해석학 교수님 앞에서 발표에서 있던 일입니다.
S = {u(f,P) / P is a partition of [a,b]} 라는 집합에서 원소 하나를 뽑아야 하는데 (함수 f는 fixed)
제가 Let u(f, P1) ㅌ S, … 라고 쓰고 논의를 전개하니
갑자기 어떻게 그러한 원소와 P1의 존재를 말할 수 있냐고 질문(공격)하셨습니다.
저는 얼타서 당연히 존재하는거 아닌가? 싶은 생각을 꾹 참고 생각해봤는데 결국 그 자리에서 즉석으로 교수님을 만족시킬 답변을 내놓지 못했는데,
나중에 다시 생각해보니 만족스러운 답변으로 정리가 되었습니다.
집합론의 기본기를 물어보신 거였는데, 그 질문 덕에
‘정의대로 생각하는 법’에 대해 다시 배우게 된 좋은 경험이었네요.
여러분은 S라는 집합에서 u(f, P1) 형태의 원소를 선택할 수 있음을 어떻게 설명하실 것 같은가요?
(공집합이 아님을 보이라는 얘기가 아님
원소는 존재하는거 알겠는데 그게 왜 u(f, P1) 꼴이냐는거)
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원소가 존재하는가? = S가 항상 공집합이 아닌가 - dc App
마지막줄 읽어주세요!! 그얘기가아님 - dc App
임의로 S의 원소 s를 뽑았을때 u(f,P) 꼴이냐를 물어보는 거면 귀류법 하면 되는거아냐? 어떤 파티션에서도 저 값이 안되면 정의역에도 안들어있는데 S가 부분집합이잖아 - dc App
그쵸 귀류법으로 하진 않았지만 결국 S라는 집합이 파티션을 어퍼썸으로 보내는 함수의 이미지임을 사용해서 보였습니다 - dc App
모든 원소가 u(f,P)꼴이냐는 질문임?
글쵸 결국 어떤 원소 a를 S에서 골랐을 때, u(f, P1)=a를 만족하는 P1이 왜 존재하는가? - dc App
이 조건을 만족하도록 집합을 정의한거 아님? 질문이 이상한데
저도 첨에 들엇을때 얼마나 뇌정지왓겟음 - dc App
ㄹㅇ 그때 당연히 잇는거 아닌가요 라는 말이 목구멍까지 올라옴 - dc App
뭔의도로하신질문인거임?
의도는 U : P |-> u(f,P)로 정의된 함수 U의 이미지가 S이므로, U는 onto이고 따라서 U의 원소 a 하나 당 파티션 P0을 선택할 수 있다 였습니다 교수님이 힌트로 onto를 흘려주셨거든요 - dc App
이미지가 왜 S임? 그리고 왜 onto임? 이 두 질문이 더 답하기 어렵지 않나?
S의 정의가 Im(U)라서 같고 이미지를 공역으로 하는 함수는 onto의 정의에 의해 onto라서 그렇습니다 이렇게 써놓고 지금보면 교수님이 S = Im(U) 부분은 좀 유하게 넘어가준거 같기도 하네요? - dc App
함수의 이미지를 f(X)={f(x): xㅌX}로 정의하고 surjective를 f(X)=Y로 정의했다면 ㅇㅋ 근데 이러면 "surjective이면 임의의 y에 대해 y=f(x)인 x가 존재"는 증명해야하지 않냐
@ㅇㅇ(110.70) 교수님은 그것만 사용해도 일단 ㅇㅋ 해주셨습니다 집합론에서 햇던 내용이니 저런 논증을 할 수 있냐 없냐를 보실려한거같아요 아마 - dc App
집합론했으면 뭐 상관없지... 보통 다른 학교는 집합론->해석학을 순서대로 듣기 힘듦
@ㅇㅇ(110.70) 글쿤요 저흰 집합론이 1학년과목이라 다 그런줄? - dc App
저런 공격 들어오면 x ∈ S를 뽑으면 어떤 partition P_1에 대해서 x = u(f, P_1)이 된다고 하면 됨
그게 왜 되냐는 더 기본적인 질문이엇슴 ㄷㄷ - dc App
@용용. function의 image의 정의에 의해 자명하게 존재한다고 하면 되려나? S = {u(f,P) | P is a partition of [a,b] = {x | ∃P s.t. P is a partion of [a,b] and x = u(f, P)}
왐마 개고수 정확하네요 - dc App
정확히는 공역이 image이니 onto이므로! - dc App
재밌네. 나도 꼬장 부릴 때 써먹어야지
교수님이세요…? - dc App
뭔 헛소리임 p를 닫힌 구간 ab로 하면 무조건 공집합 아니잖아
마지막줄 읽어보세요 그얘기가아님!! - dc App
공집합이 아님을 보이라는 질문이 맞는 거 같은데 니가 나중에 수학 더 공부하다보면 어떤 모임 만들 때 그게 공집합이 아님을 보이고 시작하는 게 기본임 아주 자명한 원소 하나라도 괜찮으니 니가 설정한 집합이 공집합이 아님을 보여야 vacuously true가 안 되지
공집합 아님은 이미 자명하게 {a,b}의 존재성으로 보였는데, 원소 하나를 뽑으면 그게 왜 u(f, P1) 꼴이냐는 질문이에요 - dc App
그런 집합을 만들었고 그게 공집합이 아니니까 거기서 원소 하나 뽑으면 그 모양이지
저도 첨에 그생각함 근데 아마 저런 집합에서 당연하다는듯이 원소 형태를 u(f, P1) 형태로 뽑는 학부생들에게 왜 그렇게 뽑아도 되는지 알고있어? 물어보신게 아닐까 생각중입니다 - dc App
니가 모든 닫힌 구간들의 모임(S)가 공집합이 아님을 보였으면 거기서 원소 하나 뽑았을 때 당연히 닫힌구간 모양 아니겠냐? 정확히는 x가 S의 원소이면 x=[a,b]가 되는 두 실수 a<b가 존재하는 거 아니겠노?
@ㅇㅇ(121.133) “당연히 닫힌구간 모양 아니겠냐?” 가 왜 당연한지 물어본 느낌…? - dc App
@ㅇㅇ(121.133) 글고 S는 upper sum들의 집합입니당 - dc App
하… 열심히 해라 그냥 이 말밖에 해줄 게 없다
감사합니다!! - dc App
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아직도 저 질문이 당연한 것이라는 느낌은 안 드네요 ㅎㄷㄷ 그냥 학부따리들이 P 왜 선택할수 있는지 모를테니 찔러본 느낌이라고 생각했었는데… - dc App
@용용. 잘못말해서 지웠는데 이어씀. 이게 더 맞는 말인듯 분할들의 집합 Part.를 정의하고 비어있지 않음을 보임. 한 구간에서의 최대값이 유한함을 보임. 상합이 유한함을 보임. 구간을 상합으로 보내는 사상 s를 만듦. 전사함수 s:Part. -> f(Part.)가 well defined임을 보임. S=f(Part.)로 두면 찔릴 일 없을듯
@용용. 이제보니 교수님이 많이 봐주신거였네요 s가 well defined인지도 안 보였었는데… - dc App
@수갤러2(39.7) 댓글 너무 감사합니다. - dc App
집합을 그러한 형태의 모임으로 정의했으니 그 집합에서 원소를 고르면 정의상 당연히 그러한 꼴로 나타낼 수 있는것 아닐까요 집합이 잘 정의되었다는 전제가 있으면요 근데 집합이 잘 정의되냐고 질문하신건 아닌것 같으니
그러니까요…저도 S의 정의상 당연하다는 말만 반복했는데 안당연하다고 개털렷엇습니다 - dc App