[일반] 미분형식 ㅈㄴ 헷갈리는데 설명 부탁..

[익명(106.101)]

dx,dy 이런게 미분형식이잖아

근데 미기 배울 때 I=Edu^2 +… 처럼 어떤 미분형식의 제곱이 쓰이는 반면

쐐기곱에선 같은 거 곱하면 교대성때문에 dxdx=0된다고도 하는데

뭔?차?이?임?

[익명(episode5899)]

둘이 다른 연산임. dx^2 이라고 쓸때는 dx와 dx의 symmetric product를 의미하고 쐐기곱은 wedge product 또는 exterior product라고 함. - dc App

[글쓴이(110.11)]

[수갤러 1(126.6)]

미분형식은 다변수함수에서 미적분을 엄밀하게 정의한 거라 보면 됨. 애초에 미분형식이 굳이 antisymmetric하게 정의되어야 하는 건 다변수함수 미적분에서 dx를 미분소로 직관적으로 다루었을 때 결과가 antisymmetric하기 때문임 (변수변환으로 야코비안 다뤘을 때 생각해보셈). 근데 야코비안이 determinant랑 연관이 있잖아? 선대를 보면 알겠지만 재밌게도 determinant가 유일하게 정의되기 때문에 다변수함수에서 그런 성질을 만족하는 operation이 wedge product로 유일하게 결정된 거임. 그러니까 미분형식이 미분과 관련된 모든 연산을 정의하는 게 아님.

[수갤러 1(126.6)]

니가 말한 dx^2를 쓰는 경우는 사실 미분형식이 아니고 다른 거임. 미분형식은 linear form인데 dx^2는 linear도 아니고 quadratic form임.

[수갤러 1(126.6)]

물론 기본적으로 텐서를 사용해서 미분소를 벡터로 보고 수학적으로 엄밀하게 정의한다는 사상은 같음. 단지 변수변환이 성립할 필요가 없는 곳에서 미분형식의 연산 (wedge product)를 쓰지 않을 수도 있단 말임.

[글쓴이(110.11)]

더 공부하고 다시 댓글 봐바야겠당 ㅜ

[ㅆㅅ(siiot)]

일단 basis를 나타내는 표현이라고 봐도 무방할 듯. E dx^2은 basis x를 x로 대응시키는 mapping의 값이 E라는 뜻. 비슷하게 2F dx dy로 쓰면 basis dx를 dy로 대응시키는 mapping과 dy를 dx로 대응시키는 값이 F라는 뜻 이런식임. Riemannian metric은 symmetric matrix로 나타내지니까 이 곱은 당연히 bilinear, symmetric해야 함.

[ㅆㅅ(siiot)]

기호로는 ⊗로 많이 쓰는데 자주 생략됨. symmetric tensor로 검색해보셈