극한 lim x->inf f(1/x)을 구할때

1/x = t로 치환하여 x->inf일때 t->0+이니

lim t->0+ f(t)를 구하는것과 똑같다고 푸는데요

이는 1/x이 x가 무한대로가면서 0보다 큰 모든 임의의 양수 값들을 가질수있기때문에
t->0+이 정말 0의 우극한으로 취할 수 있는 모든 경로를 거치며 0으로 다가가게되고,
그에따라 성립하는 결과라고 보았습니다.

그렇지만,

g(x)를 다음과 같이 정의합시다 :

g(x)=1/x² (x=2^n인 자연수 n이 존재)
g(x)=1/x (otherwise)

이런 경우, g(x)=t로 치환하면,
분명히 x->inf일때 t->0+이지만

lim x->inf f(g(x)) = lim t->0+ f(t) 라고 할 수가 없습니다.

f(x)를 다음과 같이 정의해버리면 반례가됩니다.

f(x)=1 (x=1/2^n인 자연수 n이 존재)
f(x)=0 (otherwise)


만약 lim x->0+ f(x)가 존재한다는 것을 전제로 삼는다면
그 극한값이 같음은 자명합니다. (부분의 극한이 실제극한과 같아야하니까요)

하지만 부분의 극한이 존재한다고 실제극한이 같을 수는없죠.


고등과정에서의 치환극한문제를 풀때는
전부다 저런 꼴로푸는데

여기서 제가 말한,

x->inf일때 g(x)->0+이고 g(x)는 0에 충분히 가까운 임의의 양수로 가질수 있는 모든값들을 가진다.

가 성립할때만

lim x->inf f(g(x)) = lim t->0+ f(t)가 성립하는것같은데요,

제가 말한 표현은 수학적으로 비엄밀한 표현같아서요.

저걸 엄밀한 수학적 용어로 고친 명제는 정확히 어떤 것인지 궁금하고, 그 명제의 증명이 궁금합니다

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