밑에 글쓴이가 한 질문 : https://m.dcinside.com/board/math/65881
밑에 글쓴이가 원하는 엄밀한 수학적 명제는 이렇게 서술할 수 있을 것임.
양의 실수 h>0가 존재하여, 임의의 양수 e∈(0,h)에 대하여 다음 두 명제가 동시에 참이 되는 실수 M이 존재한다.
( 즉, 충분히 작은 임의의 양수 e에 대하여 다음 두 명제가 동시에 참이 되는 실수 M이 존재한다. )
i) x>M 인 모든 실수 x에 대하여 0<g(x)<e 이다.
ii) 임의의 양수 t∈(0,e)에 대하여 g(y)=t인 실수 y∈(M,∞)가 존재한다.
위 명제가 참일때, 다음이 성립한다.
lim x->∞ f(g(x))가 존재하면, lim t->0+ f(t)도 존재하고,
lim x->∞ f(g(x)) = lim t->0+ f(t) 이다.
결론적으로 이 명제는 참이고,
위의 조건이 아무리 원점으로부터 멀리 떨어진 실수 M을 잡더라도
M을 포함하지 않는 구간 (M',inf)이 존재해 그 구간에서 g가 전사가 된다는걸 의미하기 때문에,
이것이 밑에 글쓴이가 주장했던 "0으로 가까워지는 모든 경로를 취한다" 의 엄밀한 수학적 조건임.
i)이 lim x->∞ g(x)=0 & g(x)>0 과 같은 조건 같아보인다고 착각하여
단순히 lim x->∞ g(x)= 0 & g(x)>0 조건 추가하고, ii) 조건 하나 추가하고 이렇게 독립적으로 하는 것만으로는 안됨. 반례가 바로 나오기 때문에..
실수 M이 i)과 ii)를 "동시에" 만족시키도록 존재해야만 본 명제가 참이 된다는 것에 주의.
이제 본 명제의 증명은 다음과 같이 할 수 있음.
<증명>
lim x->∞ f(g(x)) = L을 가정하자.
0<e<h 인 양수 e를 고정하면, 아르키메데스 성질에 의해 0 < 1/N < e 인 자연수 N이 존재하고,
n≥N일 때 0 < 1/n < e 역시 성립한다.
그러면 가정에 의해 n≥N인 각각의 자연수 n에 대하여 다음 두 조건을 만족하는 실수열 {M_n}이 존재한다.
i) x>M_n 인 모든 실수 x에 대하여 0<g(x)<1/n
ii) 임의의 양수 t∈(0,1/n)에 대해 g(y)=t인 실수 y∈(M_n,∞)가 존재한다.
보조 정리 : 수열 {M_n}은 위로 유계가 아니다.
<보조 정리의 증명>
만약 수열 {M_n}이 위로 유계라고 가정하면, 모든 자연수 n에 대해 M_n<A인 실수 A가 존재한다.
그러면 가정에 의해 모든 자연수 n에 대하여 0<g(A)<1/n이 되는데,
아르키메데스 성질에 의해 0< 1/N < g(A) 인 자연수 N이 반드시 존재해서 모순이다. 따라서 수열 {M_n}은 위로 유계가 아니다.
lim x->∞ f(g(x)) = L 이므로,
실수 S가 존재하여 x>S 인 모든 실수 x에 대하여 l f(g(x)) - L l < e 이다.
그러면 보조 정리에 의해 M_k > S인 자연수 k가 존재하므로
0<t<1/k 인 임의의 실수 t에 대하여 g(y)=t인 실수 y∈(M_k,∞)가 존재하고,
l f(t) - L l = l f(g(y)) - L l 이며,
y>M_k이므로 가정에 의해 l f(g(y)) - L l < e 가 성립하기 때문에
l f(t) - L l = l f(g(y)) - L l < e 이다.
즉 0<e<h인 임의의 양수 e에 대하여 자연수 k가 존재하여
0<t<1/k => l f(t) - L l < e가 성립하므로,
e'≥h인 양수 e'에 대해서도 자연수 k가 존재하여 0<t<1/k => l f(t) - L l < e < h ≤ e' => l f(t) - L l < e' 이다.
따라서 lim t->0+ f(t) = L 역시 성립하게 되어, 증명이 완료된다.
이 명제의 역명제
lim t->0+ f(t)가 존재하면, lim x->∞ f(g(x))도 존재하고
lim t->0+ f(t) = lim x->∞ f(g(x)) 이다.
는 그냥 처음에 주어진 조건 i)만 성립하는 M이 존재하기만 해도 증명 가능한 훨씬 쉬운 명제임.
결과론적으로 고등학교 과정에서는 본문에서 증명한 명제의 역명제를 주로 사용해서 문제를 풀기때문에 이런 고민을 할 필요가 없음.
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