[일반] 수학의 체계가 궁금한데

[으그갹(vacuum6317)]

공리, 정의, 정리가 젤 상위개념인가요?

정의에는 무정의용어도있고 여러 정의가 있다던데

정리에는 법칙 성질 같은게 있고

공리는 어떻게 굴러가는건가요

ZFC공리계가 대수학 해석학 기하학 공리를 설명해주는건가요?

아니면 대수학 공리는 대수학에 있어요?

질문이 초딩이라 ㅈㅅ

- dc official App

[수갤러 1(39.7)]

ZF 공리뿐만아니라 집합론에도 여러 공리가 대수학에도 여러 공리가 있고 정의와 공리가 혼동돼서 쓰이기도 함. A를 만족하는 무언가를 말할땐 A가 정의가 되지만 무언가가 A를 만족하므로 라고 말할땐 공리라고도 말하기도 함. 그냥 공리는 적어도 말문을 틀 수 있는 시작이라 보면됨

[으그갹(vacuum6317)]

정의와 공리가 혼동돼서 쓰인다는게 무슨 말인지 모르겠어요 - dc App

[서해공무원(walking0314)]

수학의 기초는 여러가지가 있는데 제일 유명하고 표준적인건 ZFC임. 대수학 해석학 기하학 공리계가 따로 있지는 않고 공리계는 ZFC 하나임. 무정의 기호: ~(not), ->(~이면 ~이다), =, ㅌ(집합 원소 기호), "모든", x,y,z 같은 변수 기호들. 이 기호들이랑 추론규칙(p, p->q가 다 참이면 q도 참)이랑 논리적 공리들이랑 ZFC 공리들이 수학의 기초를 이룸. 물론 이 체계 말고 다른 체계를 사용할 수도 있음

[서해공무원(walking0314)]

이 ZFC체계에서는 정의는 축약일 뿐임. 정의를 풀어 쓰면 그냥 무정의 기호들이 잔뜩 있는 식이 됨. 정리, 법칙, 성질 등은 본질적으로는 다 정리임. 그냥 관습적으로 더 어울리는 단어가 있을 뿐임

[으그갹(vacuum6317)]

기호도 무정의기호가 있어요? 근데 기호가 어떻게 무정의 기호인가요? 방금 예시들어주신 기호들은 기호 자체에 의미가 있는거 아닌가요? - dc App

[으그갹(vacuum6317)]

유클리드 기하학? 무슨 평행공리인가 이런것도 그럼 zfc안에 들어가있는건가요? - dc App

[으그갹(vacuum6317)]

분배법칙 a(b+c)=ab+ac 는 공리인가요 정리인가요? - dc App

[으그갹(vacuum6317)]

x y z는 왜 무정의 기호지 그냥 관습으로 쓰던거 아니었나요 - dc App

[으그갹(vacuum6317)]

@서해공무원 정의는 축약이고 정의를 풀어쓰면 무정의 기호들이 잔뜩있다는건 무슨 말인지 모르겟어요 - dc App

[으그갹(vacuum6317)]

아 그리고 고등학교 과정 까지의 수학에서 공리에 대한 이해는 전혀 상관이 없는건가요? 공리를 몰라도 수능수학 만점이나 개념에데한 이해도가 딸린다거나 논리적인 전개가 불가능하다거나 그런 일이 있을 수 있나요? - dc App

[으그갹(vacuum6317)]

아니면 수능수학은 논리적인데 엄밀함만이 없는건가요? 엄밀함과 관련된건 전부 공리인가요? - dc App

[서해공무원(walking0314)]

@으그갹 아래 모든 답변은 다 ZFC 체계 기준임. 다른 체계 쓰는 사람도 있음 ~를 not이라 이해하고 ->를 ~이면 ~이다로 이해하는건 그냥 사람들이 직관적으로 의미부여를 한 거지 본질적으로는 무정의 기호임. 본질적으론 저 기호들이 어떻게 동작하는지를 말해주는 공리와 추론규칙들만이 있을 뿐임 유클리드 공리계는 ZFC랑은 별도의 공리계임. 근데 이건 고전이라 그런 거고 현대 기하학은 다 ZFC 공리계 위에서 함 분배법칙은 공리는 아님. 정의로 봐야 할지 정리로 봐야 할지는 애매함. 실수체의 정의를 대학수학에서는 순서쌍 (R,+,×,<)로서 R은 집합이고 +,×는 R×R에서 R로 가는 함수고 결합법칙, 분배법칙이 성립하고 어쩌구저쩌구 이런 식로 정의함. 정의라 보는게 맞는 듯

[으그갹(vacuum6317)]

근데 정의는 용어에대한 뜻, 의미, 설명 아닌가요? 분배법칙은 숫자나 문자끼리 계산해서 도출해내는 행위? 로 보이는데 이게 정의라는게 잘 와닿지 않네요 정의는 정적인 개념 아닌가요? - dc App

[서해공무원(walking0314)]

@으그갹 원래 무정의 기호 중에 무한 개의 변수기호들도 있음. x,y,z,...라 해도 되고 x1,x2,x3,...이라 해도 됨 위에서처럼 실수를 정의했잖아. 그럼 그 다음부터는 "모든 실수는 어쩌구다 " 라고 쓸수도 있는데 사실 이걸 풀어쓰면 "모든 x에 대해 x가 실수의 정의를 만족하면 어쩌구다" 이런 문장이 됨. 더 풀어 쓰면 무정의 기호들만 나옴 고등학교 수학은 공리 신경 안 써도 될 듯. 신경쓰면 오히려 생각 많아져서 수능에 불리할 거 같음 고등학교 수학도 다 엄밀하게 서술 가능함. 단지 그렇게 안 할 뿐

[으그갹(vacuum6317)]

수학에서 기호는 전부 무정의 기호라는건가요? 한자같은 건줄 알앗는데 - dc App

[서해공무원(walking0314)]

@으그갹 고등학교까지는 실수를 따로 정의 안 하고 그냥 원래부터 있던 대상인 것처럼 취급해서 안 와닿는 거임. 대학수학에서는 실수를 정의부터 함. "실수체라는 것은 ~~를 만족하는 것이다." 이런 식으로 정의함. 이 ~~에 분배법칙도 들어가 있음

[으그갹(vacuum6317)]

체 라는게 필드인가요? - dc App

[서해공무원(walking0314)]

@으그갹 수학의 명제를 완전히 논리식으로 풀어 쓰면 모든 기호가 무정의 기호인 건 맞음. 근데 현실적으로 그렇게 완전히 논리식으로만 풀어 쓰긴 어려움. 그래서 축약을 위한 여러 기호들을 도입함. 예를 들어 AㄷB (A는 B의 부분집합이다)는 "모든 x에 대해, xㅌA -> xㅌB"를 축약한 거임. 여기서 "모든 ~에 대해", x, A, B, ㅌ, ->는 무정의 기호이지만 "ㄷ"는 무정의 기호가 아님.

[서해공무원(walking0314)]

@으그갹 ㅇㅇ 필드 맞음

[으그갹(vacuum6317)]

수학의 명제는 무엇인가요 논리식으로 풀어쓴다는게 자연어로 서술한다는건가요? ⊂은 왜 무정의기호가아닌가요 - dc App

[으그갹(vacuum6317)]

그럼 고등수학에선 실수뿐만아니라 자연수 유리수 복소수 무리수 전부 정의를 안하고 원래부터 있던걸로 배우나요? - dc App

[서해공무원(walking0314)]

@으그갹 명제는 본질적으로는 무정의 기호들을 문법(이것도 따로 정의해야 함)에 맞게 나열한 것임. 근데 이걸 자연어로 번역한 것도 흔히 명제라고 부름 논리식으로 풀어쓴다는 건 자연어로 쓴다는 거랑 완전 반대임. 예시: 자연어: "공집합이 존재한다." 논리식: ~∀x(~∀y(~yㅌx)) 무정의 기호는 ∀(모든 ~에 대해), =, ㅌ, ~, ->, 변수기호들 뿐임. 그 외에 새로 정의해서 쓰는 건 다 무정의 기호가 아님

[으그갹(vacuum6317)]

왜 무정의기호은 6가지만 있는건가요? 6개가 수학 전체를 아우르는 기본 논리? 인건가요? - dc App

[서해공무원(walking0314)]

@으그갹 자연수, 정수, 실수, 복소수는 정의를 안 하고 원래 있던 대상처럼 다루는 느낌임. 유리수는 "b/a(a,b는 정수)로 나타낼 수 있는 수" 라고 정의하긴 하지. 물론 정수를 엄밀하게 정의 안 했으니 유리수도 엄밀하게 정의했다고 하긴 어렵지만

[서해공무원(walking0314)]

@으그갹 그냥 ZFC 체계를 그렇게 정했어. 참고로 ZFC 체계에 and, or 같은 것들을 추가로 무정의 용어에 넣는 사람도 있음. 근데 나는 p or q 는 (~p) -> q 로 표현할 수 있고 p and q 는 ~(p -> ~q) 로 표현할 수 있어서 and, or는 무정의 용어에 안 넣는 걸 선호하는 것뿐임. 이렇게 같은 ZFC 체계를 사용하는 사람들끼리도 디테일은 조금씩 다름

[으그갹(vacuum6317)]

gpt한테 물어보니 zfc에선 무정의용어가 집합, ∈ 이렇게 2개고 논리학에선 6~10개 라는데요 논리학이 zfc안에 포함된건가요? - dc App

[서해공무원(walking0314)]

@으그갹 일차논리를 먼저 체계화하고 나서 그걸 사용해서 ZFC를 체계화하는 거임. 난 일차논리+ZFC를 뭉뚱그려서 ZFC 체계라고 부른 것. 일차논리의 무정의 기호는 ∀, ~, ->, =, 변수기호들이고, 추론규칙은 "p, p->q가 참이면 q도 참" 이거고, 여러가지 공리(논리적 공리라고 부름)들도 있음. 이 위에 무정의 기호들을 더 추가하고 공리들도 더 추가할 수 있음. 근데 표준적으로는 무정의기호는 ㅌ 딱 하나만 추가하고 공리들은 ZFC 공리들을 추가함. 이게 바로 ZFC 체계임

[으그갹(vacuum6317)]

집합은 무정의용어가아닌가요? - dc App

[서해공무원(walking0314)]

@으그갹 ㅇㅇ 집합은 무정의용어가 아님. 그냥 변수기호 하나가 집합 하나를 나타냄. 본질적으로는 집합이라는 용어는 필요 없음

[으그갹(vacuum6317)]

=, {} 도 잇어야하지않나요? 조건제시법이면 | 도 있고 - dc App

[으그갹(vacuum6317)]

변수에 집합, 함수값, 벡터값, 다항식, 같은걸 대입할 수 ㅣ있는 이유가 뭔가요? 이것도 다 공리에서 변수의 쓰임새를 정해놧나요? - dc App

[서해공무원(walking0314)]

@으그갹 =는 일차논리의 무정의기호에 있잖아. {}랑 |는 필요 없음. 예를 들어 "A={x| x ㅌ x}" 라는 건 사실 "∀x (xㅌA <-> x ㅌ x)" 를 축약한 것뿐임. (사실 <->도 무정의 기호가 아니라서 더 풀어 써야 함)

[으그갹(vacuum6317)]

그러면 무정의용어는 정의는 없지만 설명은 있고, 정의용어는 정의와 설명이 있는건가요? - dc App

[서해공무원(walking0314)]

@으그갹 ㅇㅇ 대입할 수 있는 건 공리들과 추론규칙 덕분임. 정확히는 기억 안 나는데, 공리들과 추론규칙들 갖고 어찌저찌 해보면 ∀x(x를 포함한 식) 이런 명제가 참이면 x에 다른 걸 대입한 (y를 포함한 식) 이런게 참이 된다는 걸 확인할 수 있었던 거 같음. 정확히 뭐였는지는 모르겠다

[으그갹(vacuum6317)]

= 기호는 여러 의미로 쓰이는것같던데 그러면 =는 공리마다 역할이 다르게 사용되는건가요? 양변이같다는의미도있고 함수와 다항식을 연결하기도 하는거 같던데.. - dc App

[서해공무원(walking0314)]

@으그갹 본질적으로는 무정의기호, 문법, 공리들, 추론규칙만이 있을 뿐임. 무정의기호에 정의나 설명이 있느냐는 주관적인 거긴 한데, 정의는 없다 해야 될거 같고 설명은 글쎄... 사람들이 ~을 직관적으로 not이라고 해석하듯이 설명이 있다고 해도 될 듯. 아니면 추론규칙과 공리들이 그 기호들을 어떻게 다루면 되는지를 설명해준다고 할수도 있을듯. 정의용어는 정의는 뭐... 있는 거겠지. 어떤 걸 설명이라고 봐야 될지는 모르겠음

[으그갹(vacuum6317)]

그리고 수학에 대입 기호는 왜 없는건가요? - dc App

[서해공무원(walking0314)]

@으그갹 ZFC 체계에선 모든 것은 집합임 (사실 본질적으론 집합이라는 용어도 없으니 모든 건 그냥 변수기호로 표현되는 뭔가일 뿐임). 함수나 다항식도 사실은 다 집합임 (이상하게 들릴 순 있지만 본질적으로 다 집합인 건 맞음). =는 그냥 두 집합이 같다는 뜻임 (물론 이것도 그냥 자연어로 의미부여한 거고, 본질적으론 x=y는 그냥 x=y일 뿐임). =가 여러 의미로 쓰이는 것 같아도 본질적으로는 하나의 의미(?)로만 쓰임

[서해공무원(walking0314)]

@으그갹 대입기호는 필요없으니까 없는 듯. 대입이라는 건 하나의 식에 나올만한 게 아니라 두 식을 연결하는 행위 같음. 논리식에 등장할만한 기호는 아닌 거 같음