프벅 5판 원서 자체에 적힌 링크 타고 가면 나오는
공식 솔루션인데 이거 오류아님?
유일한 스칼라 c_1,..,c_r에 대해
a_k=c_ka_j_1+..+c_ra_j_r
인 것은 맞지만,
이 c_i들은 A의 column space의 basis가
달라짐에따라 얼마든지 달라질 수 있는 것 아님?
예를들어 랭크가 r일때 A의 rref가 B,D라 치면
b_j_i=e_i인 j_i가 존재하고
d_k_i=e_i인 k_i가 존재하는데
이때 저 증명만으로는
j_i랑 k_i가 다를 가능성을 배제하지 못하므로
a_j_i랑 a_k_i항 또한 서로 다른 값을 가질 가능성을
배제할 수 없고, 그렇게되면
basis 표현에 쓰이는 스칼라 c_i도 달라질 수 있는 것 아님?
그래서 저 증명은 잘못된 증명 아닌가 싶어서 질문함.
- dc official App
{j_i}를 고정시켰을 때 유일하다는 거임. c_i 자체는 j_i의 선택에 의존함
그러니까 j_i의선택에따라 달라지는데 어떻게 B가 c_i 로표현된다고 유일하다고함. - dc App
그래서 잘못된증명이라생각해서 질문한거 - dc App
본문에서처럼 다른 rref D에대해 d_k_i=e_i일 경우 j_i랑 k_i가 같단 보장이없고 그러면 D는 c_1,..,c_r과는 다른 스칼라로 표현될가능성을 배제하지못하는거아님? - dc App
근데 솔루션증명은 그냥 유일한 c_i에 대해서 B가표현됏으니 유일하게결정된다 이러고잇어서 이해가안돼서그럼 - dc App
보니까 {j_i}는 유일하게 결정됨. b_j_i = e_i가 되게하는 B의 제일 왼쪽 column의 번호가 j_i니까
그니까 그건 rref B가 고정됐을때얘기아님? - dc App
B라는 행렬도 A의 rref고 D라는 행렬도 A의 rref라 할 때 B와 D는 고정됐으므로, b_j_i=e_i인 j_i도 유일하고 d_k_i=e_i인 k_i도 유일하지. 근데 그렇다고해서 j_i=k_i임을 여기서 보인 건아니잖아 - dc App
그렇다고 j_i=k_i임을 따로 증명하는 것도 말이안되는게, j_i=k_i임을 따로증명하면 그냥 그게그자체로 바로 rref의 유일성증명이 돼버리잖음? (thm 3.16 (a)에 의해..) 본문에서의논리를 적용할 껀덕지가 아예없어짐. - dc App
ㄴㄴ {j_i}는 B의 선택에는 전혀 의존하지 않음. A의 두 submatrix (a_1 ... a_{k-1})과 (a_1 ... a_{k-1} a_k)의 rank 차이가 나타나는 k가 결국 pivot column number임(rref를 만들 때 쓰는 연산들이 row-equivalence이므로 submatrix들의 rank를 보존함을 생각하면 쉽게 알 수 있음). 그래서 A의 두 rref B와 D에 대해서 A와 B, A와 D가 각각 row-equivalent이므로 B와 D도 row-equivalent고, 따라서 pivot의 위치인 {j_i}도 같음을 알 수 있음
그니까 내 말은 j_i가 B의 선택에 전혀의존하지 않음을 보인 순간 이미 그게 rref 유일성 증명이 끝나는건데, 본문의증명이 의미가있냐는소리임. j_i가 B의 선택에 의존하지않는다는 사실이 본문의증명과정으로부터나오는것도아니잖아 - dc App
@ㅆㅅ 그런 점에서 잘못된 증명 아니냐고 한 거고 - dc App
@ㅇㅇ(118.235) rref인 matrix가 pivot만으로 결정되는 건 아니라서 풀이의 내용도 필요함
@ㅇㅇ(118.235) pivot 위치는 같다는 걸 알아도, pivot이 없는 column의 entry는 다를 수도 있잖슴
아 그러네 좀 허탈하노 - dc App
@ㅆㅅ pivot 없는 column의 entry가 다르다는게 무슨 말임? pivot이 없으면 0이어서 어디있든 상관 없는 것 아님? 위 증명에서도 실제 n개 column이 아니라 r개 column만 쓰지 않나
@ㅇㅇ(223.39) rref 행렬에서 pivot이 없는 column은 zero vector일 필요가 없음
@ㅆㅅ 음 오개념이 있었군...
오류 맞는 것 같음 - dc App