위에 25번 문제 푸는 주에 질문입니다.
1. V를 R-벡터공간으로 보기로 한 상황에서 ix 나 iy 처럼 벡터에 허수를 스칼라로 곱한 벡터를 논하는게 말이 되나요?
2. [x, iy] 를 다음과 같이 처리해도 되나요?
내적의 성질 중 뒷부분은 켤레선형임을 이용해서 [x, iy] = -i[x, y]
한편으론, 실수에서 켤레는 원래 값과 같으므로 [x, y]의 켤레 = [x, y] = [y, x] 이고, 따라서, [x, iy] = [iy, x]= i[y, x] 이고,
-i[x, y] = i[y, x] = i[x, y] 이므로 [y, x] = [x, y] = 0
말이 안되는 거 같은데, 어느 부분이 문제인지 잘 모르겠습니다;;;;
i가 실수가 아니므로 스칼라로 봐서 내적 밖으로 내보내는게 성립하지 않는 것인가요?
i를 스칼라로 보지말고 ix도 V에 들어있겠거니 하면 되지 않을까용. i가 실벡터공간에서 스칼라가 아니니까 함부로 꺼내는것 역시 안될거 같구요.
윗댓 말대로 x에 i라는 스칼라를 곱한게 아니라, 처음부터 ix라는 원소 자체를 V에서 꺼낸거
C-벡터공간일 때 이미 곱해져서 만들어진 ix 같은거는 그냥 존재한다 치고, R-벡터공간으로 볼 때의 앞으로의 스칼라배는 R만 허용하되, 기존의 C-벡터 공간의 iy 등은 이미 존재하니까 벡터로 있는 것으로 보자 이말인가요?
존재한다 치는게 아니라 이미 있는거임. 예를 들어 내가 복소수 집합 C를 R vector space로 본다고 해서 i가 복소수에서 갑자기 사라지는 건 아니잖음
벡터공간 V에는 실수만 있는게 아니잖아요. 스칼라를 R로 보겠다는거고 V에서는 i를 곱하는게 얼마든지 가능할 수 있죠
근데 그러면, 허수를 활용해서 이미 만들어진 V의 원소들은 이미 존재하므로, 여기서 R-벡터공간으로 보자는 것의 실질적 영향은 [. , .] 내적에서 스칼라인 c로 밖으로 튀어 나오는 거는 실수만 가능하다는 것 밖에 없네요?
그래보여요
모든 real scalar에 대해서 3가지 내적의 공리를 만족시키는 함수 V×V -> R을 생각해보셈. (x,ix) 가 명백히 V×V의 원소니까 그게 어디에 mapping되는지도 잘정의가 될수밖에 없음. 그리고 그 함수가 real scalar에서만 내적의 공리를 만족시키니까, i가 빠져나올수 있는지 없는지는 모르죠 혹여나 증명되기 전까진
답변들 감사합니다. 큰 도움이 되었어요