안녕하세요! 문제에 대한 자세한 풀이와 함께 문제 자체에 대한 분석을 제공해 드리겠습니다.
결론부터 말씀드리면, 주어진 문제에는 설정 오류가 있을 가능성이 매우 높습니다. 문제의 조건대로 풀었을 때 특정 값에서는 원판 D가 존재하지 않기 때문입니다. 아래에서 오류를 지적하고, 가장 가능성 높은 수정안을 바탕으로 문제를 풀어보겠습니다.
문제 분석 및 오류 지적
이 문제는 3차원 공간 기하학 문제로, 좌표계를 설정하여 푸는 것이 효과적입니다.
 * 좌표 공간 설정
   * 평면 α를 xy 평면 (z=0)으로 설정합니다.
   * 구 S, S₁, S₂, S₃는 모두 z>0 영역에 있고 평면 α에 접하므로, 각 구의 중심의 z좌표는 구의 반지름과 같습니다.
   * 큰 구 S의 중심 Q를 (0, 0, R)로 설정할 수 있습니다.
   * 작은 구 S₁, S₂, S₃의 중심 Q₁, Q₂, Q₃의 z좌표는 모두 r입니다.
 * 중심 간의 거리 계산 (평면 α 위로의 정사영)
   * S와 Sᵢ (i=1, 2, 3)가 외접하므로, 중심 Q와 Qᵢ 사이의 거리는 R+r입니다.
   * Q와 Qᵢ의 좌표를 이용하여 거리를 계산하면 다음과 같습니다.
     d(Q, Q_i)^2 = (x_i - 0)^2 + (y_i - 0)^2 + (r - R)^2 = (R+r)^2       x_i^2 + y_i^2 = (R+r)^2 - (R-r)^2 = 4Rr
   * 이는 Q₁, Q₂, Q₃를 xy평면에 정사영한 점 Q₁', Q₂', Q₃'가 원점(Q')을 중심으로 하고 반지름 ρ = \sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr}인 원 위에 있다는 것을 의미합니다.
 * 작은 구들 사이의 관계
   * S₁과 S₂가 접하므로, Q₁과 Q₂ 사이의 거리는 2r입니다. Q₁'과 Q₂' 사이의 거리도 2r입니다.
   * S₂와 S₃가 접하므로, Q₂와 Q₃ 사이의 거리도 2r입니다. Q₂'과 Q₃' 사이의 거리도 2r입니다.
   * 이는 원 위에서의 현의 길이가 2r임을 의미합니다.
 * 원판 D의 넓이 계산 (문제의 조건 그대로)
   * 평면 β는 Q₁과 Q₂를 지나고 평면 α(xy평면)에 수직인 평면입니다.
   * 원판 D의 넓이를 구하려면, S₃의 중심 Q₃에서 평면 β까지의 거리 d를 구해야 합니다. 원판 D의 반지름 r_D는 피타고라스 정리에 의해 r_D^2 = r^2 - d^2가 됩니다.
   * 계산을 통해 d를 구하면 (자세한 과정은 생략) 다음과 같습니다.
     d = \frac{r\sqrt{r(4R-r)}}{R}
   * 따라서 원판 D의 반지름의 제곱은 다음과 같습니다.
     r_D^2 = r^2 - d^2 = r^2 - \frac{r^2 \cdot r(4R-r)}{R^2} = r^2 - \frac{4Rr^3 - r^4}{R^2} = \frac{R^2r^2 - 4Rr^3 + r^4}{R^2}       r_D^2 = \frac{r^2(R^2 - 4Rr + r^2)}{R^2}
   * 이때 원판 D가 존재하려면 r_D^2 ≥ 0이어야 하므로, R^2 - 4Rr + r^2 ≥ 0이어야 합니다. 이 부등식을 풀면 R ≥ r(2+\sqrt{3}) 이라는 조건이 나옵니다. (R>r이므로)
 * 오류 확인
   * 문제 (2)에서 R=3, r=1을 대입해 보겠습니다.
   * 위에서 구한 존재 조건은 3 ≥ 1(2+\sqrt{3}) ≈ 3 ≥ 3.732 가 되어 모순이 발생합니다.
   * 즉, 문제에 주어진 R=3, r=1 조건 하에서는 평면 β와 구 S₃는 만나지 않습니다. 따라서 원판 D가 생기지 않고 넓이는 0이 됩니다. 이는 q/p 형태의 답을 요구하는 문제의 의도와 맞지 않습니다.
결론적으로, 문제의 조건 중 일부(아마도 평면 β의 정의)에 오타가 있는 것으로 보입니다.
오류 수정 및 정식 풀이
가장 자연스러운 수정은 대칭성을 고려하는 것입니다. 문제의 "두 점 Q₁, Q₂를 지나고"를 **"두 점 Q₁, Q₃를 지나고"**로 수정하면 문제가 깔끔하게 풀립니다. 이 수정안을 바탕으로 문제를 다시 풀어보겠습니다.
(수정된 문제) 평면 β가 두 점 Q₁, Q₃를 지나고 α에 수직일 때, β와 S₃의 교집합 원판 D의 넓이를 구하여라.
(1) R, r에 대한 식으로 |D| (원판 D의 넓이)를 구하여라.
 * 수정된 조건에 따르면 평면 β는 Q₁과 Q₃를 지납니다.
 * 구 S₃의 중심은 Q₃입니다.
 * 평면이 구의 중심을 지날 때, 그 교집합으로 생기는 원은 반지름이 구의 반지름과 같은 **대원(great circle)**이 됩니다.
 * 따라서 원판 D의 반지름 r_D는 구 S₃의 반지름 r과 같습니다.
 * 원판 D의 넓이 |D|는 다음과 같습니다.
   |D| = \pi r_D^2 = \mathbf{\pi r^2}
(2) 특히 R = 3, r = 1일 때 |D| = (q/p)π라면, 서로소 정수 p, q에 대하여 p + q를 구하여라.
 * 위에서 구한 식 |D| = πr²에 r=1을 대입합니다.
   |D| = \pi (1)^2 = \pi
 * 문제의 조건 |D| = (q/p)π와 비교하면, q/p = 1입니다.
 * p, q는 서로소인 정수이므로, p=1, q=1입니다.
 * 따라서 p+q의 값은 다음과 같습니다.
   p+q = 1 + 1 = \mathbf{2}
이처럼 문제를 수정하면 매우 간결하고 논리적인 풀이가 가능해집니다. 아마도 출제자의 의도는 이와 같았을 것으로 추정됩니다.


허접한 수능 문제 푸는데 시간 쓰긴 아까우니 기계의 답변으로 갈음함
지적이 맞아보이니 이제 발 닦고 자셈

참고로 이렇게 질문했음: 이거 풀어볼래? 문제에 오류가 있는지도 궁금하고.