[일반] "임의의 집합 A에 대하여"라는 말이 어떻게 가능함?

[익명(118.235)]

임의의 집합 A를 생각하려면

집합들을 모두 모은 집합 X를 생각하고

X의 원소로 A를 고른다는 것 아님?

근데 집합 X는 존재하지 않는데

임의의 집합 A를 어떻게 생각할 수 있음?

- dc official App

[익명(124.197)]

ㄴㄴ

[익명(118.235)]

그럼 임의의 집합 A라는건 집합 A를 어디서가져오는거임? - dc App

[익명(118.235)]

임의의 실수 x, 임의의 자연수 n 은 모두 실수집합에서 x하나 고르고 자연수집합에서 n하나 고르는거아님? - dc App

[익명(211.192)]

@ㅇㅇ(118.235) 모든 집합의 모임을 논리적으로 매끄럽게 정의할 수 있는진 모르겠지만 그러한 모임이 집합이 아니라 생각하면 될 듯

[s&p50(dart8913)]

그냥 임의의 집합 고르는건데

[익명(118.235)]

그러니까 그걸 어떻게 고르는 건 지에 대한 질문임 - dc App

[익명(118.235)]

임의의 집합을 고른다 = 어디서 고를건가? 에대해 궁금한거 임의의 자연수를 고른다 = 자연수집합에서 고른다 임의의 실수를 고른다 = 실수집합에서 고른다 잖음 집합은 어디서고르는건가? - dc App

[수갤러 2(194.114)]

@ㅇㅇ(118.235) "어떻게" 고른다는 것에서 더 이상 "임의의"가 아님. 임의의라는 건 어떤 제약이나 기준을 안둔다는거임.

[s&p50(dart8913)]

@ㅇㅇ(118.235) 어디서 고르는거 아닌데? 왜 임의의 집합이라느걸 모르지? 너 말대로 하자면 class of all set 에서 고르는거지

[수갤러 3(118.223)]

임의의 자연수로 이루어진 집합은 그러면 자연수에서 골랐기때문에 임의가 아님? 자기모순 문장임? - dc App

[Oo(118.235)]

고르는 게 아니야. "임의의 집합 A에 대해서"는 "각각의 집합에 대해서"란 뜻이야.

[Oo(118.235)]

"임의의 실수 a"라는 표현도 어디선기 고르는 게 아니라 "a가 어떤 실수더라도"란 뜻이야.

[익명(118.235)]

근데 보통 증명을 할때는 임의의 뭔가를 생각할때, 임의의라는 말을 안하고 Let X be set, Let n be natural number 등으로 "실제로 고르는" 행태로증명을많이하지않음? 그래서 고르는거랑 진배없다느꼇었어. - dc App

[Oo(118.235)]

"Let X be a set"은 말 그대로 X가 집합일 때란 뜻이지 어디선가 골라 오란 소리가 아니잖아.

[Oo(118.235)]

"임의의"는 "어떤 특정한 조건이 없는"이란 뜻이야. 어디선가 마구잡이로 골라잡으란 뜻이 아니라고.

[익명(118.235)]

특정한 조건이 없다기보다 특정 조건을 만족하는 그 어떤거도될수잇는 거 아님? 임의의 자연수는 "자연수"라는 조건을 만족하는 아무것 중 하나잖아. 그러면 "집합"이라는 조건을 만족하는 아무것중 하나라는건데 이 만족하는 아무것...을 정의할 때 집합이라는 조건을 만족하는 것들의 리스트가 없다면 그걸 어떻게 아무것중하나로 볼 수 있나하는 궁금증이계속있었어. - dc App

[익명(118.235)]

무언가 수학적 개념 A를 정의하기만 하면, 개념 A를 만족하는 임의의 수학적대상이라는 것을 항상 정의할 수 있는건가? 그게 참이라면 왜 참인지가 궁금해 - dc App

[Oo(175.208)]

넌 "임의"라는 말의 뜻을 모르는가보다. "추가 조건이 더 없는"이란 뜻이야. "임의의 자연수"라고 하면 짝수와 같은 또 다른 조건 없이 그냥 자연수란 거야. "임의의 집합"이라고 하면, 유한 집합과 같이 조건이 더 붙는게 아닌 그냥 집합이기만 하면 된다는 거고.

[수갤러 1(223.39)]

수리논리 공부하면 알 수 있음 zfc공리에서 쓰는 forall 기호도 그냥 임의의 집합을 나타내는거임

[익명(112.148)]

모든 자연수들의 집합 N이 없더라도 임의의 자연수 n에 대해 생각하는 건 할 수 있음. 우리가 “임의의 n in N에 대하여“라고 하는 건 정말로 N이라는 집합이 필요한 게 아니라 ”임의의 자연수 n에 대하여”를 줄여서 말하는 것

[익명(112.148)]

마찬가지로 set of all set이 없어도 임의의 집합을 생각하는 건 가능하고, set of all ordinal이 없어도 임의의 ordinal을 생각하는 것도 할 수 있음

[익명(118.235)]

임의의란 표현이 자연어로서 정의된게 아니라 수학적으로 아주 엄밀히 정의된 표현인거같은데 그걸 정의하는방식이궁금함 - dc App

[익명(112.148)]

내가 알기로는 ZFC는 공리 9개뿐만 아니라 기본적인 논리 기호 (not, imply, for all), 그리고 논리 규칙 (삼단논법 등등)이 기본적으로 전부 포함된 거임

[익명(112.148)]

그래서 ZFC에서 원소 관계가 무정의용어인 것처럼 논리 양화사들도 논리 규칙에 따라 행동하는 formal symbol일 뿐이고. 그래서 모든 집합의 집합이 없더라도 “for all set~”과 같은 문장을 쓰는 게 가능함. For all 자체가 이미 ZFC 안에 처음부터 내장된거라

[ㅈ나힙하게식자재를사야돼(almost9585)]

https://math.stackexchange.com/questions/5084128/what-does-the-word-let-mean-in-mathematics
- dc App

[ㅆㅅ(siiot)]

애초에 집합론의 공리계도 "모든/어떤 집합에 대해~"로만 적혀 있음

[수갤러 3(118.223)]

여기애들 수학실력이 몇명 빼고는 다 ㅈ박아서 모르는듯 나도 모른다 - dc App

[서해공무원(walking0314)]

ZFC에는 공식적으로는 집합이라는 용어가 없다. 그냥 x,y,z 같은 변수기호들만 있을 뿐. "모든 집합 x에 대해 p(x)" 이건 그냥 "∀x p(x)" 를 축약한 거임. "모든 x에 대해 p(x)"라 해도 같은 문장임

[수갤러 4(223.194)]

https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_quantification