[현재화력 60%] - solver : 겨울_
h는 [0,1]에서 미분가능한 고정된 C^1 볼록함수다. (원한다면 그냥 smooth하다고 가정하고 풀어도 좋다)
f,g도 [0,1]에서 미분가능한 C^1 볼록함수들인데, f+g=h이고, f(0),f(1),f'(0),f'(1)이 고정되어 있다.
이 때 f,g를 어떻게 잡냐에 따라 f^2+g^2를 적분한 값 I가 달라질 것이다.
1. I의 최솟값이 존재하며, 최솟값이 되게 하는 (f,g)는 유일하게 존재함을 보여라.
2. I의 최댓값이 존재하며, 최댓값이 되게 하는 (f,g)가 존재함을 보여라.
3. (2)의 (f,g)에 대해, f''g''의 적분은 항상 0임을 보여라.
1 : 30점 / 2 : 30점 / 3 : 40점
화력은 댓글의 점수의 총합으로 채점!
Hint : 존재성은 사실 볼록함수 조건만 잘 이용해도 꼼수로 된다
Hint2 : f,g가 당신이 생각하는 것보다 discrete하다(적분만 0인 게 아니다)
아 망했다 화력테스트하려면 좀 쉬운걸 냈어야 되는데
숙제 베끼는 수법은 맨날 똑같네.
내가 만든건데
애초에 아직도 종강안한학교가 있던가?
c^1 주고 왜 f'' 라는거임
f'가 증가함수니 f''이 a.e. 존재해서 그런거 같음
f'이 증가함수여도 f''은 L1밖에 안되니까 불안하겠지? 그런데 f,g의 성질을 조사하면 저 적분이 당연히 잘 정의됨을 알 수 있다.
사실 f''g''이 대체로 0이어서 괜찮음.