x=a를 포함하는 열린구간 I에서
미분가능한 함수 f : I -> R 에 대하여
다음을 만족하는 함수 g : I -> R가 존재한다.
(f(x)-f(a))=(x-a)f'(g(x)) for all x in I
평균값 정리로 각 x마다 정해지는 c값이 유일하지 않을 수 있고 심지어 그런 c가 고정된 x에 대해 무한히(가산개,비가산개 둘다 가능하게) 많을수도있으니 이런 c값들 중 임의로 계속 하나씩 택하는 과정을
모든 x마다 무한히 반복하여
함수로 구성할 수 있어야되니까
선택공리가 필수적인것인가요?
- dc official App
x마다 정해지는 c값을 결정해주는 알고리즘이 없다면 선택공리를 사용할 수밖에 없을것같아요
각각의 x에 대하여, = (x-a)f'(c_x)인 실수 c_x가 존재하는것은 맞지만 각각의 x마다 만족하는 실수 c_x를 모두 고정하여 잡는것은 그러면 선택공리없이 불가능한거죠? - dc App
주어진 x 하나에 대해서는 single choice theorem으로 c_x를 고정할수있지만요 - dc App
만약 f의 도함수가 연속이라면 선택공리 없이도 가능할 수 있을거 같기도 합니다 편의를 위해 x>a라고 하고 C_x={c∈(a,x)|f'(c)=(f(x)-f(a))/(x-a)}가 최댓값이 존재하므로 그 최댓값 c_x를 g(x)의 함숫값으로 정하면 됩니다
@Delpcon C_x의 정의를 잘못했네요 C_x={c∈[a,x]|f'(c)=(f(x)-f(a))/(x-a)} 여야 최댓값을 갖습니다.. ((a,x)이 아니라 [a,x])