[중고딩문제] 극한 이렇게 적용해도 되나요?

[xevaim(roman9797)]

수행평가여서 해봤는데 틀린게 있는지 궁금해요

- dc official App

[너혹시수학과(afwtrq01)]

x -> infty일 때 x^{4n + 2}의 극한은 존재하지 않기 때문에 lim_{x -> infty} f(x) f(-x)을 어떤 극한값처럼 생각해서 0보다 작다고 쓰는 건 틀린 것 같아요. x -> infty라는 표기 대신 x에 적당히 큰 양수 M을 대입해서 f(M) f(-M) < 0임을 증명해보는 게 어떨까요.

[xevaim(roman9797)]

감사합니다! 그런데 적당히 큰 양수M 이라는 표현이 조금 모호하게 느껴집니다. 어떻게 증명할 수 있을까요? - dc App

[너혹시수학과(afwtrq01)]

@xevaim 제가 생각한 풀이는 아이디어는 같고 표현의 엄밀성에서만 차이가 납니다. 셋째 줄에서 1/x^{4n + 2} * x^{4n + 2} 를 도입했는데, 충분히 큰 M을 대입한다면 첫 두 인수의 곱이 -a_{2n + 1}^2와 가까워지겠지요? x -> infty라는 표현 대신 M을 대입하면 f(M) f(-M) = (-a_{2n + 1}^2 + e(M)) M^{4n + 2}를 얻고, 여기서 e(M)는 M을 크게 잡는다면 충분히 작아지는 값입니다. e(M)이 충분히 작으면 f(M) f(-M) < 0이 성립하는 셈이지요. 이때 얼마나 큰 M을 대입하면 좋을지, 즉 e(M)을 얼마나 작게 만들어야하는지 생각해보셔요.