[일반] 함수해석은 ㅈㄴ 창의적이게 tricky하다.

[익명(89.15)]

weak(-*) Topolgy 같은걸 어떻게 생각을 했을까?
ㄹㅇ 왜 이름이 \'함수\'해석인지 바로 와닿자너

[□(112.170)]

함수해석 재밌어?

[익명(220.70)]

그냥은 수렴 안하는걸 어떻게든 수렴한다고 말하고 싶으니까

[익명(175.203)]

Ultrafilter와 Nonstandard analysis를 이용해서 특정한 수학적인 대상에 극한을 부여하는 방법도 있음.
https://terrytao.wordpress.com/2013/12/07/ultraproducts-as-a-bridge-between-discrete-and-continuous-analysis/

[익명(125.177)]

5,60년 전부터 있던건데 안씀 타오는 갑자기 관심생겻나

[익명(45.64)]

옛날부터 있던건 맞는데 (Nonstandard analysis의 대표저서 중 하나인 Robinson의 책이 1960년대 나왔으니까..) 최근에 Tao를 필두로 하여 몇몇 주제에서 그 쓰임새가 재조명받고 있음. 예를 들어서 continuous analysis의 결과들을 증명할 때, 이걸 discrete하게 변형한뒤 discrete analysis를 하여서 증명하곤 하는데, 반대로 discrete analysis의 결과들을 증명할때, continuous analysis의 결과로부터 이를 도출할 수 있는가? 라는 질문을 던질수 있고,

[익명(45.64)]

이게 가능하다면 discrete analysis에서 자잘한 작은 error term 분석을 피할수 있으니 증명이 더 수월해짐. 다만 한가지 문제라면, continuous analysis의 결과들은 qualitative하지만 quantitative하지는 않은데, 문제는 discrete analysis로부터 얻는 결과들은 quantitative하기 때문에 이를 위해서는 별도의 도구가 필요하다는 것임. Tao는 nonstandard analysis를 이러한 '도구'로서 활용을 하였고, Tao의 최근 연구 결과들과 nonstandard analysis는 밀접한 연관이 있음.

[익명(45.64)]

대표적으로, Tao가 Green-Tao 정리를 포함한 additive combinatorics의 결과들을 증명하면서 발전시킨 Higher order Fourier analysis에서도 ultralimit/nonstandard analysis를 활용하고 (
https://terrytao.files.wordpress.com/2011/03/higher-book.pdf),
2013년 I'HES에 실은 Breuillard-Green-Tao의 Approximate group에 관한 결과 (a.k.a. Freiman-Ruzsa 정리를 noncommutative group으로 확장한) 에서도 원하는 dimension bound를 얻기 위해서 ultralimit/nonstandard analysis를 활용함.

[익명(45.64)]

마찬가지로 관련된 Tao의 교재 (
https://terrytao.files.wordpress.com/2012/03/hilbert-book.pdf)
참고.

[익명(45.64)]

이것의 응용에 관한 포스트는 (1)
https://terrytao.wordpress.com/2010/01/30/the-ultralimit-argument-and-quantitative-algebraic-geometry/
(2)
https://terrytao.wordpress.com/2012/08/31/the-lang-weil-bound/
(3)
https://terrytao.wordpress.com/2015/07/20/a-nonstandard-analysis-proof-of-szemeredis-theorem/
같은 포스트가 있고.. 상당히 흥미로움.

[익명(45.64)]

이외에도 semigroup의 Stone-Cech compactification과 nonstandard analysis/topological dynamics를 이용해서 램지이론 / combinatorial number theory의 여러 문제를 해결하는데 적용한 경우들도 있고.. (예를 들어서
https://arxiv.org/abs/1709.04076)