평소에 항상 궁금했던 생각을 적어봅니다
보통 선형근사함수 L(x) 하면, a, f(a) 를 지나고 기울기가 f'(a) 인 직선으로 정의하잖아요.
이건 그러니까 미분계수를 먼저 구하고 그 기울기에 해당하는 직선을 정의하는거라 사실상 큰 의미는 없는데,
평소에 궁금했던게 뭐냐면, 선형근사함수를 a, f(a) 에서 함수 f(x) 를 가장 잘 근사하는 직선이라 정의해보는거에요.
그리고 그 정의로부터 미분계수의 정의를 거꾸로 유도해내는거죠.
문제는 수학적으로 "가장 잘 근사하는~" 이라는 표현을 수학적 툴로 바꾸는 것인데,,
처음 아이디어는 진짜 원초적이게 Error(h) 라는 함수를 정의해서,
Error(h) = f(a+h) - L(a+h)
이렇게 해서 이걸 최소화시키는 방향으로 생각을 해보았다가, 막상 해보려니 또 잘 안되더라구요.
혹시 여기에 대해 도움 주실 수 있는 분 계신가요?
저 Error(h)가 o(h)가 되도록 하면 정확하게 기울기가 미분계수가 됨
h → 0일 때 Error(h)/h → 0이면 f가 미분가능한 거랑 동치임. 직선 L의 기울기를 g라 하면 L(x) = g(x-a) + f(a)니까 Error(h)/h = (f(a+h) - f(a))/h - g임. Error(h)/h → 0이면 f'(a) = g가 되는 거
total derivative에 대해 검색해보면 좋을 거 같음
사실 이 생각을 안해본건 아니에요 미분계수 식부터 거꾸로 가면 금방 추론할 수 있으니까 근데 왜 좋은 근사가 “Error/h = 0" 이어야 하는지 연결고리가 부족한 느낌이에요 - dc App
f와 선형근사함수g = cx + b의 기울기의 오차가 최소가 될때 선형근사함수g의 기울기 c를 f의 미분계수라고 한다. 그러면 f와g의 오차를 먼저 정의하고 그 다음 오차를 최소화 하는 방법을 찾아야할듯 - dc App
a-h 부터 a+h까지 f-g의 절댓값을 적분한 값이 최소가 되도록 하는 g의 기울기 c가 f(a+h) - f(a) / h 임을 보이며뉴될듯 - dc App
근데 뭔가 배보다 배꼽이 더 큰 느낌이라 - dc App
저 고딩인데 저렇게 극한의 정의를 배움요
과와쌤이 수2(함수의 극한만 배우는데)에서 수열의 극한 알려주고서 선형 근사한 함수의 기울기를 구하는 과정이 미분이라고 배우고 입델논리 찍먹해줬어요 그 다음에 적분파트를 바로 나가고 구분구적법이랑 평균값 정리를 나가고서야 교과서에 나오는 내용 다뤄줬어요