수학에 어지간하게 관신 있는 분들은 무한범주랑 토포스라고 들어봤을 거야. 개념의 용도만 따지고 보면 아주 다루기는 쉽지만 알고보면 정말 미친 사고방식이 담겨있습니다.

그 무한이고 자시고는 걍 이름일 뿐입니다. 수학적 대상의 의미에 대해서 이야기할땐 그 대상에 어떤 기능의 기준, 즉 파라미터가 존재하는지를 주로 봐야 의미가 드러나는 것 처럼요. 

본론으로 들어가서, 코보디즘 가설의 증명법이랑 베유 추측은 같은 증명법 속에 같은 뿌리를 공유합니다. 제가 베유 추측의 증명 방법론에 대해 큰 틀로 축약해서 얘기해 드리자면, 일단 여러분들 겁먹지 말고 이분의 논문을 읽으며 따라와 봐요. 


** 1. 베유 추측에 관한 증명법과 이게 왜 모티베이션이 되는가? **

0490f719b28161fe20afd8b236ef203e0e56c7b24479b9ac


0490f719b28161f020afd8b236ef203e5fb85520a1b28482

일단 여기서 렘마 1.7 을 보십시오. 우린 이걸 증명하면 된답니다. 이게 따지고 보면 1.6 으로 논리가 이어지는 이유를 생각하면 아주 쉬운 이야기로 변모됩니다. 현대대수학 공부하신 분들은 아실 겁니다. 일단 우린 ”긴 완전열“이란 것을 먼저 얘기해 볼게요. Log 를 편의상 곰 => 덧셈 준동형이라고 둬봐요. log(P/Q) = log(P) - log(Q) 이고, 이 로그의 계수에 해당하는 에탈 코호몰로지 계수의 트레이스는 홀이면 더하고 짝이면 빼고를 반복해서 더해갖고 만든 값이에요. 

감이 오실 겁니다. 이제 이걸 최소 계수의 기약다항식 꼴로 바꾸어 봐요. 그럼 우리가 각 P_i 를 Q 계수 다항식으로 나타낼 수 있음을 알수 있습니다. 이건 갈루아 이론 공부해보신 분들은 알거에요. 

그래서 우리가 이제 부등식 7.3 을 쓸겁니다. 근데 에탈 코호몰로지의 차수랑 여기의 극한으로 보낼때 \alpha 의 그 부등식의 경계가 d 로 나타내어지고, 이게 무한으로 가면 알파도 이제 q^{-i/2} 로 확정 됩니다. 근데 여기서 우리가 주목할 곳은 에탈 코호몰로지 또한 차수를 극한으로 보내면 되는거 아니냐 싶으실 텐데 … 이게 생각보다 간단하지 않단 말입니다. 그래서 여기서 범주론적 극한이 출현합니다. 

0490f719b28668f020afd8b236ef203e32afc5071e541b52

근데 있잖습니까 … 범주론적 극한이 보존된다는 게 있어야 우리 논리가 성립하다 보니, 이 논법이 통하도록 노골적으로 추상화한 버전이 바로 토포스라는 것입니다. 



** 2. 토포스의 필요성과 이것의 무한범주론으로의 모티베이션 **

일단 토포스는 범주론적 극한이 그 토포스 안에 존재하는지 알수 있어야 하므로 부분대상 분류자의 존재를 가정한 것이고, 여기서 꼭 필요한게 뭐냐 하면 보편 성질을 통한 대상 간의 인코딩입니다. 

우리는 일단 이런걸 상식적으로 알고 있어요. “텐서곱”. 그거는 사실 심오한 이유가 도형 따위의 직관적 이유가 아니라, 보편 성질이라는 유일성 보장조건과 선형대수학의 쌍선형사상 자체를 선형사상으로 인코딩하는 건데 말입니다. 그니까 이게 보편 성질이랑 매우 큰 연관이 있단 말이지요. 

보편 성질은 존재와 유일성을 간접 증명하는 데에 사용됩니다. 이거에 대한 자세한 이해는 제 머리의 선을 넘어서기에 함부로 말하지 않겠습니다만, 이 텐서곱과 유사한 꼴의 보편 성질이 또다른 준동형에 성립하도록 하는 것이 바로 데카르트 닫힌 범주입니다. 


그래서 이 토포스가 왜 중요하느냐??? 

이게 왜 핵심이냐? 


이거에 대해 제가 코보디즘 가설의 증명을 설명해드리며 이야기해 드리겠습니다. 

일단 여러분들, 

0490f719b28668f120afd8b236ef203e7a1224efecc344a4

이 코보디즘 가설이 뭐냐 하면, 위의 명제입니다. 근데 따지고 보면 정말 어딘가 텐서곱이랑 보편 성질 작용이 비슷합니다.” 아예 범주 자체를 기하객체로 두고 보편 성질로 고정점을 정의해서 우리가 원하는 대상이 존재하고 그것이 위상다양체 범주 위에서 항상 성립한다고 메타화해서 본 거“ 그리고 그 대상이 정말 우리가 위에서 증명하려는 범주의 성질을 갖는다.“ (즉 그 임의의 보편 성질로 만들어진 코보디즘 가설을 만족하기 위한 범주의 공리를 만족한다. 그러므로 코보디즘 가설은 그 범주에서도 참이다. ” 


하여튼 요런 논리에요. 




엄청 문제가 자명하게, 또 풀기 쉽게 변합니다. 이게 Lurie 님이 그 많은 정리를 써서 논리적으로 뒷받침해놓은 그 무한범주론의 모티베이션 입니다. 



그래서 제가 하고싶은 말은, 대수기하는 보편 성질과 그 층 간의 동형을 통한 국소 동형 => 전역 동형성이라는 층(sheaf)의 논리에 의해 만들어진다는 겁니다. 


단지 그 정보를 저장하기 위한 affine scheme 의 층이 좋은 성질을 갖는 가군이고, 여기에 호몰로지 기법을 통해서 더 쉬운 동형 판별이 가능해진다는 것 뿐이죠. 그로센딕의 그 논법, 즉 층을 통한 자동완성법을 루리 님이 토포스라는 층의 일반화로 다뤄주셨기에 더 많은 범주에서 동형 판별법이 성립한다는 이야기에요. 물론 여기서 그 코보디즘 가설이 성립하기 위한 가정은 모노이달, 역원 존재 딱 두개입니다… 이걸 그 코보디즘 범주가 그거랑 동형이 되다 보니 문제가 자동완성되는 기법인 거죠. 지금 봐도 사람이 아닙니다 … 그로센딕 님은.


자, 이래서 그로센딕이 괴물이라는 겁니다. 안그래도 그사람 머리도 미쳤지만 추상화 만으로 문제를 자동완성하는 배경의 재배치 기법, 즉 보편 성질을 통한 동형여부의 자동판별을 하신다는 점에서 정말 괴물이란 것이지요. 



(닉 바꿔서 돌아왔습니다.) 그 개념글에서 GTM 많이 리뷰한 사람입니다. (이거 다음편엔 대수기하 말고 코보디즘으로 돌아올게요)


읽어주셔서 감사합니다!