*전반적인 아웃라인만 원하는 사람들이 많을 것 같으니 일단 살짝 간단화된 문제를 다루고 그 다음에 원래 문제를 설명하겠음.


Simplified question. 평면에 두 점 u,v가 주어져 있을 때, 아무 점이나 막 찍는 것과 직선으로 두 점을 연결하는 것만으로 항상 중점을 작도할 수 있는 방법이 있는가?


Solution.


평면 π를 R^3의 부분집합으로 생각하고, 평면 밖의 한 점 p와 또 다른 평면 π'을 잡자. f:π→π'은 π에 있는 점 x를 직선 px와 π'의 교점으로 보내는 함수인데, 조금 생각해보면 f가 π에서 모두 정의되지는 않고, 직선 하나를 뺀 영역에서만 정의됨을 알 수 있다(px와 π'이 평행하면 안 되니까)

하지만 작도하려는 그림을 적당히 평행이동해서 그 직선과 만나지 않게 하면 충분하므로, 이는 사실 문제가 안 됨.


여기에서 f가 갖는 성질이, 만약 a,b,c가 π에서 한 직선 위에 있는 점들이라면, f(a),f(b),f(c)는 π'에서 한 직선 위에 놓이게 되고, 그 역도 성립한다.

왜냐하면 a,b,c가 한 직선 위에 있다는 것은 p,a,b,c가 한 평면 위에 있다는 것이고, 그러면 p,f(a),f(b),f(c)도 한 평면 위에 놓이기 때문이다.

그런데 π'을 삐딱하게 잡으면 u,v의 중점이 f(u),f(v)의 중점으로 가지는 않게 할 수 있다.

그래서 원래 작도그림을 f로 보낸 image에서는 작도 방법은 동일한데 중점을 작도하지 않게 되는 결과가 생기므로 모순이다.


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Original question. 평면에 두 점 u,v 주어져 있을 때, 아무 점이나 막 찍는 것과 직선으로 두 점을 연결하는 것만으로 중점을 작도할 수 있는가?


단, almost never인 경우는 인정하지 않는다(여기서 probability measure는 R^2에 자기가 증명하기 좋게 설정했다 치자_사실 상식적인 정의에서는 다 괜찮음)


Solution. (with some handwaving to shorten proof)


앞의 풀이와 동일한 f를 정의. 앞에서처럼 f는 π에서 직선 하나를 뺀 영역에서만 정의되지만, 우리가 작도를 할 때 사용하는 보조점들의 개수는 기껏해야 유한 개이므로, π'이 u,v를 지나게 한다던가 하지만 않는다면 정확히 저 직선에 점이 놓일 확률은 0이 되므로 이는 무시가능하다.


이 때 π(θ)를 π를 적당한 축 l에 대해 θ만큼 돌린 것이라 정의하고 θ~Unif[0,π]같은 걸 준 다음 앞에서 한 것과 같은 방법으로 생각하면 변환된 그림이 중점을 작도하게 되는 θ의 개수는 기껏해야 유한 개인 것을 이용해서 '랜덤한 점 찍기'가 주어진 작도법에 의해 중점을 작도할 수 있는 배치일 확률은 0임을 보일 수 있다. □

(영리한 사람이라면 이것보다는 깔끔한 풀이를 만들 수도 있다고 생각됨)


참고)누군가는 '작도를 할 때 점이나 직선 사이의 위치관계에 따라 작도법을 바꿀 수도 있지 않는가'라고 생각할 수도 있다.

그런데 그렇게 한다고 해도 어차피 유한 번의 선긋기만 가지고 할 수 있는 작도법의 개수는 countable한데, 그 중 어느 것도 positive한 확률로 중점을 내놓지 못하기 때문에 그것들을 모두 union해도 확률은 0이라는 것으로 설명가능하다.