A의 임의의 원소 a를 고정하면
대응되는 유일한 집합 B_a가 존재한다.
이때 B_a의 임의의 원소 b를 고정하자.
이때 각 a와 각 b에 대응되는
함수 f_a , f_b가 유일하게 존재한다고 하자.
여기까지가 전제입니다.
명제 : 모든 aㅌA와 bㅌB_a에 대하여
f_b(a)=f_a(a)이다.
이 명제가 "참"이라고 할 때,
다음 중 무엇을 의미하는 것인가요?
1. 임의의 aㅌA를 고정하고 임의의 bㅌB_a를 고정했을 때,
f_b(a)와 f_a(a)가 "잘 정의되고(즉,a는 항상 f_b와 f_a의 정의역의 원소이다)" , 두 값은 같다.
2. 임의의 aㅌA를 고정하고 임의의 bㅌB_a를 고정했을 때,
f_b(a)와 f_a(a)가 "잘 정의된다면" , 두 값은 같다.
즉 저 명제가 참이란 것만으로 정의가 잘됨을 보장하는지,안하는지가 궁금합니다
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전제에서 함수를 정의할 때 정의역이랑 공역이 없는데 서술을 잘 못 하신 거 아닐까요?
"유일한 함수"가 존재한다고 선언하였으니 각각 유일한 정의역과 공역을 가지는 것 아닌가요? 정의역과 공역 집합을 언급을 따로 안해주더라도요. - dc App
저는 1이라고 생각하긴 합니다. 그리고 이건 수학 문제가 아닌 것 같다고도 생각합니다. 48/2(3+9)의 값을 묻는 게 수학 문제가 아니듯이요. 혹시 어떤 맥락에서 나오는 명제인지 밝혀주실 수 있나요? 저에게는 너무 이질적인 것 같아서 궁금해요.
recursion theorem의 증명에서 나와요. 설명을 하면 - dc App
자연수 N에 대해 조건 (a)~(f)를 만족하는 유일한 집합쌍 (A_N,B_N)이 존재합니다. 이때 A_N은 N이하의 모든 자연수를 모은 집합, B_N은 N보다 큰 모든 자연수를 모은 집합이되는데, order를 사용하기위해 덧셈을 정의해야하고 덧셈을 정의하기위해 recursion theorem을 증명해야해서 순환논리가되거든요. 그래서 사실상 같은집합이지만 A_N B_N을 저런집합이라고 증명단계에서는 말할수가없습니다 - dc App
그래서 어찌저찌 그걸 증명하는 과정에서 다음 명제를 증명할 필요성이 생겨요.일단 집합 X가 정의되어 있고,임의의 자연수 n에 대해어떤 조건을 만족하는 함수 a_n : A_n -> X이 유일하게 존재합니다.이때임의의 자연수 n과 B_n의 임의의 원소 m에 대하여 a_m(n)=a_n(n)를 증명해야하는데요,그냥 귀납법으로 증명을 하면저명제 자체는 증명이되거든요근데 실제로 B_n의 모든 원소 m에 대해 a_m(n)이 잘 정의되는 지 확인하지않아도 증명이돼버려요. 그걸 따로 확인하는 과정은 생각보다 긴 과정이고요. 그래서 결론적으로 실제로 값들이 다 잘정의됨을 추가적으로확인해줘야하는 일이발생해서,본문에 질문한거처럼 저명제자체로는 잘정의됨을 보증하지않는건가? 하는 의문이들어서요 - dc App
@ㅇㅇ(118.235) 설명 감사합니다. 어렵네요… 설명을 보니 2.는 절대 하면 안되고 1.으로 써야할거같다는 생각이 문득 들었어요. 값이 잘 정의되는지도 증명과정에 포함되어야 할 것 같아요.
함수를 생각하려면 domain codomain 있어야하잖아 - dc App