[연결에 관하여 : From Graph Theory to Higher Category Theory]


연결에 대해서 생각해보자. 가장 간단하게 생각해 볼 수 있는 연결의 종류는 점 두개를 선으로 연결하는 것이다.

이런 종류의 연결은 graph theory의 언어를 빌려서 생각해보자면, 두개의 node 사이를 하나의 edge로 연결하는 것 이라고 볼 수 있다.

실생활의 예시로는 두 물체를 케이블로 연결하는 걸 생각해볼 수 있다. 

케이블이 여러개일 수 있듯이 edge를 여러개를 사용함으로써 여러가지 연결을 줄 수 있지만, 이 연결에는 종류가 없다.


이 아이디어를 조금 더 확장시켜서 더 큰 대상들을 다루는데 사용해보자.

category theory는 이런 연결의 방식에 많은 도움을 받았다. 왜냐하면, 많은 카테고리들을 그래프의 연결의 확장방식으로 생각할 수 있기 떄문이다.

이 말이 무엇인지 차근차근히 생각해보자. category는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

- Class of objects : 카테고리를 구성하는 대상들의 클래스이다. 직관적으로 생각해보면, 그래프의 노드라고도 생각해볼 수 있다.

- Class of morphisms : object들을 '연결'하는 것들의 클래스이다. 마찬가지로, 직관적으로는 노드들을 연결하는 edge들이라고 생각해볼 수 있다.

- 그 이외의, composition laws가 있지만, 이것은 대상들의 작동방식임으로, 일단 생략해본다.

이렇듯, 카테고리 이론을 살펴보면 우리가 대상들과 그 대상들 사이를 연결하는 무엇인가를 이해하는데에는 대상을 점으로, 연결을 선으로 생각하는 아이디어가 뒤에 숨어있다.


그렇다면 우리는 연결을 모두 다 이해한 것일까?

만약, 만약 타원의 두 끝에 점을 찍고, 타원을 채워 평면을 만든다고 생각해보자. 이 평면도 타원을 연결한다고 볼 수 도 있다.

그리고, 이 타원을 구부리고 찌그러트리고, 구멍을 뚫어보자. 이 모든 과정을 거쳐도, 이 평면은 두 점을 연결한다고 볼 수 있다.

생각을 더 넓혀서,두 점을 잇는 평면을 두개를 놓고 그 사이를 입체로 채워보자. 이 입체또한 두 점을 연결한다고 볼 수 있다.


이렇듯, 연결에 대한 아이디어는 무한히 높은 차원으로 확장될 수 있다.


이 아이디어를 나타내는 방법 중 하나가 바로 higher category theory다.


higher category에 대해서 간략하게 설명해보면, object들을 연결하는 morphism들 사이의 morphism인 2-morphism, 2-morphism 사이의 3-morphisms...이렇게 무한히 뻗어나갈 수 있는 종류의 데이터라고 볼 수 있다.


이제 higher category를 앞서 말한 예시들에 적용시켜보자.

두 대상을 object라고 놓았을때, 이 두 점을 잇는 선분을 1-morphisms(일반적인 category 이론에서의 morphisms)라고 볼 수 있다.

그러면, 이 1-moprhisms들 사이를 채우는 평면을 2-moprhisms,이 평면들을 채우는 입체를 3-morphisms...이렇게 이어나갈 수 있다.


—이 morphisms들의 type들을 들여다보기 시작하면, higher homotopy theory로 들어가기 시작한다.—


간단히 말해서, higher category theory의 세계관에서 중요한 것은 단순히 생각하는 연결이라는 개념의 확장이라고 볼 수 있는 것 같다.


여기서 생각을 더 뻗어서, 연결들의 종류를 구분하고 싶으면 homotopy theory로 가게되는 것 같다.


더 자세한 이야기는 머학원에 합격하면 더 공부해보자..