굳이 ZFC가 없더라도 카테고리 이론을 쓸 수 있잖아


일단 대충 볼 때 둘은 독립적이라고 볼 수 있을 것 같은데



불명확한 단어 "공간" 을 써봄, 카테고리 이론으로 구축해낸 수학 "공간"과 ZFC 공리계로 구축한 수학 "공간"을 비교해볼 때, 어느 공간이 더 광범위한 것이라고 보여짐?


어느 공간이 더 많은 범위에 있는 것 같다고 생각함?



일단 내 생각은 카테고리가 더 광범위한 거 같고 아마도 사실인 거 같음
이게 사실이라면 아래에 나온 문제들도 좀 풀어보셈



1. category만을 써서 "기존 ZFC 공리계를 써서 구축한 수학"을 유도시킬 수 있는가?
아예 ZFC를 카테고리의 "부분공간" 처럼 볼 수 있냐는 거임


예를 들어 피타고라스 정리나 소수의 무한성 증명 등을 ZFC 없이 범주론만을 써서 정리할 수 있는가?



2. ZFC 공리계 안의 명제 중 "ZFC 공간이 아닌 카테고리 공간"이 "창틀 너머로 비추어지는" 예시가 있는가? (있으면 뭐가 있음?)



이 문제도 무슨 말인 건지 좀 설명해봄

카테고리가 ZFC를 이긴다면 ZFC 공리계로 이루어진 현대 수학 중에 어떤 명제는 카테고리만으로 이루어진 공간에서 적용되는 수학과 유사하거나 유사한 매커니즘을 가질 거라고 보는 거임


하지만 ZFC 안에서는 그것을 완전하게 설명할 수가 없는 거고
단지 편린일 뿐인 거임, 난 이걸 "창틀 너머로 비추어진다" 라고 표현했음


쉽게 예를 들어본다면
사칙연산만을 이야기하는 상황에서 "0÷0은 정의되지 않는다" 같은 명제는 아날리시스를 비춰준다고 할 수 있겠지
오직 이차방정식만 이야기하는 상황에서 "오메가, i, 루트i, 루트 오메가..." 등에 대한 explicit한 결과는 복소해석학의 오일러의 공식 등을 비춰준다고 할 수 있겠지


ZFC 안에서의 어떤 명제가 카테고리를 비춰준다고 볼 수 있음?