1. Tonelli

aij >=0 이면 sum_i sum_j aij =sum_j sum_i aij

sol)

Claim
: sum_i sum_j aij =sum_j sum_i aij
= sup_(M, N) sum_(i~M) sum_(j~N) aij
(M N까지의 partial sum의 supremum과 같다)

(1)
sum_(i~M) sum_(j ~ N)aij =< sup_(M, N) sum sum aij

그 다음에 좌변에 sup N, sup M을 따로따로 취함

aij가 양수이므로 좌변은  sum_i sum_j aij가 됨

(2) 반대방향 부등호
sum_(i~M) sum_(j ~ N)aij =< sum sum aij

좌변에 sup_(M, N)을 취함

(1), (2)에 의해

sum_i sum_j aij = sup_(M, N) sum_(i~M) sum_(j~N) aij

비슷하게 i j 순서 바꾼것도 성립하므로 같다.



2. Fubini

sum_(j) |aij| = Ai, sum_(i) Ai 가 수렴하면

sum_i sum_j aij =sum_j sum_i aij 이다.

sol)
bij = max(aij, 0)
cij = max(-aij, 0) 라고 하자.

그러면 bij 와 cij는 nonnegative 이고

aij = bij - cij 이다.

0 <= bij <= |aij|,  0<= cij <= |aij|이므로

양변에 j에 대한 sun을 취하면 비교판정법에 의해 수렴

다시 또 i에 대한 sum을 취하면 또 수렴

즉 sum(i) sum(j) bij와 sum(i) sum(j) cij는 수렴

1의 Tonelli thm에 의해 i j 순서 바꿔도 수렴, 값도 같다

sum(i) sum(j) aij = sum(i)sum(j) bij - cij

= sum(i)sum(j) bij - sum(i)sum(j) cij (수렴하므로 쪼개기 가능)

= sum(j)sum(i) bij - sum(j)sum(i) cij (Tonelli)

= sum(j)sum(i) bij - cij

= sum(j)sum(i) aij


밑첨자 쓰는게 너무 번거로워서 쓰다가 조금 바꿨어요.. 양해 바라요

복소일 때 Fubini는 그냥 실허수부 나눠서 증명하면 될까요?