Show that if U is a nonempty subset of K which is open in K, then U is uncountable.(K는 칸토르셋)


여기서 U가 K와 어떠한 open set V의 교집합이다.

교집합이 공집합이 아니기에 원소하나 x를 집으면

그 x는 K에 들어가고 V에도 들어간다.

칸토르셋은 퍼펙트셋이기에 x는 limit point이다.

V는 오픈이므로 적어도 하나의 엡실롱에 대해서 x의 근방이 V에 포함된다.

x는 K의 limit point이므로 위에서 말한 엡실론 근방에 집합K의 무한한 원소들이 존재한다.

즉 엡실론근방이내에 집합K의 무한한 원소들이 존재하고 이는 교집합의 부분집합이다.


여기서만든 저 집합이 비가산인걸 보이고 싶은데 어떻게 해야할까요?

연속적으로 칸토르셋에서 원소를 무한하게 골라내면 그것은 비가산이다.를 증명하고싶어요