[대학교이상] 해석학 문제 풀어주세요

[익명(211.198)]

K is cantor ternary set. Show that if U is a nonempty subset of K which is open in K, then U is uncountable.

[수갤러 1(126.6)]

풀려는 노력은 했다는 걸 보여주고 질문하는 게 좋을 듯. U가 K에서 open이면 U_{i} (a_i, b_i) intersection K = U이니 (subspace topology) U가 uncountable임은 적어도 하나의 i에 대해 (a_i, b_i) intersection K가 uncountable임과 동치고, 즉 WLOG [0,1]의 칸토어집합이 uncountable인 것을 보이면 됨. 이는 교과서적 증명을 쉽게 찾을 수 있음.

[수갤러 1(126.6)]

근데 subspace topology를 배웠냐? 안배웠으면 이 증명은 못 쓸 거임

[익명(sweater5651)]

요새 글삭튀 잦아서 멘탈 약한 놈이면 캡처해두셈

[수갤러 1(126.6)]

@ㅇㅇ 이말 듣고 바로 캡쳐했다..

[익명(211.198)]

밑에 글 쓴사람 맞아요. 시도해본걸 조금이라도 써놓을걸 그랬네요. 죄송합니다. 답변감사해요. 도움 많이됐어요

[익명(211.198)]

어떤 열린구간이랑 K의 교집합이 uncountable한거랑 칸토어집합이 비가산인게 무슨상관이에요? 일반성을 잃지않고가 여기서 왜 되는건지 모루겠어요

[수갤러 1(126.6)]

@글쓴 수갤러(211.198) Subspace topology 자체는 알고 있음? 그 부분은 알고 있다고 치면, 기본적으로는 칸토어 집합이 국소적으로 구조가 반복되는 걸 이용한 거임. 칸토어 집합에서 적당히 구간 (a, b)를 잡아도 어차피 내부적으로는 계속 1/3씩 잘라서 중간만 뺀 거기 때문에 같은 형태가 반복됨. 여기서 countable union에서 모든 집합이 countable하면 합집합도 countable이니, 적어도 하나의 집합은 uncountable이 되어야만 U가 uncountable일 수 있음. 참고) U_{i} (a_i, b_i) intersection K = U, 그냥 subspace topology에서 open의 정의임.

[수갤러 1(126.6)]

@글쓴 수갤러(211.198) 그니까 칸토어집합이 uncountable한 거랑 open set인 U가 uncountable인 게 동치이기 때문에, 칸토어집합이 uncountable이면 증명이 끝남.

[수갤러 1(126.6)]

@글쓴 수갤러(211.198) 구간 (a, b)를 잡고나면 어차피 그 안에 완전히 포함되는 [c, d]를 잡을 수 있을 거고 (metric space니까) 그러면 [c, d]가 결국 [0, 1]위의 칸토어집합이랑 1대1대응이 되니까 가능한 거임.

[익명(211.198)]

@수갤러1(126.6) 칸토르셋을 만드는과정을 길이 1부터 시작하는게 아니라 1/3이런식으로 몇단계이후에서 시작해도 원래칸터르셋이랑 똑같다는거군요

[익명(211.198)]

@글쓴 수갤러(211.198) 칸토르셋을 구성하는 과정에서의 1이라는 온전한 클로즈인터벌말고 중간단계의 인터벌에서 자르기시작해도 이는 원래의 칸터르셋과 1대1대응이 된다는것이 핵심이군오

[수갤러 1(126.6)]

@글쓴 수갤러(211.198) 정확히는 (a, b)안에 1/3로 나눴을 때 나오는 유리수를 무조건 포함할 거고, 그러면 다른 거 생각할 필요 없이 [0, 1]에서 칸토어집합이랑 완전히 구조가 같음. [0, 1]에 one to one and onto 대응이 존재하고, 칸토어집합은 각각의 subset이면서 구조가 같으니까 칸토어집합도 one to one and onto 대응이 존재함

[익명(211.198)]

@수갤러1(126.6) 완전 이해됐어요 고마워요. 연휴잘보내세요

[수갤러 1(126.6)]

@글쓴 수갤러(211.198) ㅇㅋ