[일반] 미분방정식은 원래 이런가요

[익명(39.7)]

물리인데

방정식을 상수로 잡는것도 왜 가능한건지 대충 설명하고

해를 각각의 변수에만 의존하는 함수들의 곱으로 나타내는것도

설명안하고

조화진동자도 두번 미분하면 자기자신의 음수가 되는 함수는

Sin cos 밖에 없으니까 해는당연히 이둘의 선형결합이다.

하고 넘어가는데

그런함수가 저둘밖에 없다는걸 어떻게 알죠

먼가 null space에 차원정리쓰거나 유한차원벡터공간이. isomorphic한걸 이용할거같은데

재미없네요

[수갤러 1(211.234)]

이계미분방정식에서 wronskian이 0이 아닌 두 해의 선형결합이 모든 해집합이라는 정리가 있음

[s&p50(dart8913)]

상수계수 선형 엔차 미방은 정확하게 풀리니까 그렇게 풀면됨. 나머지는 말하는거 보니까 혼자 지피티 써서 풀어보면 다 알만한 수준이신거 같은데 왜

[수갤러 2(211.234)]

Strauss나 Evans 같은 PDE 교재 보면 다 엄밀하게 증명해줌

[수갤러 3(126.6)]

어떤 미분방정식의 해가 존재하고 유일함을 알 때, 무슨 방법이든지 해를 찾았다면 그게 유일한 해임. 또는 어떤 선형 미분방정식의 해의 공간이 n차원임을 알 때 n개의 선형적으로 독립된 해를 어떤 방식으로든 찾았다면 그게 명백한 basis임. 물론 basis가 유일하단 말은 아니지만 어떤 basis를 찾든지 처음 찾았던 해들의 선형결합으로 표현될 것임.

[수갤러 3(126.6)]

진동자도 음수가되는 함수가 sin cos밖에 없어서가 아니라, 해공간의 차원이 2인데 sin cos이 해이면서 서로 선형 독립이니 그 둘의 선형결함으로 모든 해를 표현할 수 있다는 거지 sin과 cos이 basis의 유일한 표현형이란 말이 아님. 삼각함수를 exp로 표현할 수 있으니 exp로 기저를 쓸 수도 있음. 다만 두번 미분해서 음수가 되는 함수가 해임을 알 때, sin과 cos을 찾았으면 그냥 다 찾았다는 말임.