[일반] 0에서의테일러급수의 수렴반경이 정확이 x=0일때만 수렴하게 될 수 있음?

[익명(124.49)]

제곧내
0에서의 테일러급수의 수렴반경이
정확히 x=0일때만 수렴하고
그외의 지점에서 발산하는 경우가 있나요?

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

sigma n!x^n

[익명(124.49)]

테일러급수면 음이아닌 모든 정수 n에대해 f^(n)(0)=(n!)^2 을 만족하는 미분가능 함수 f (x)를 정의 할수 있어야 되는거 아닌가요?

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

형식적인 급수가 아니라 실제 f의 테일러급수가 니가 말하는게 존재하느냐의 얘기지? 안될것 같진 않은데 잠맘

[익명(124.49)]

네. 제가 질문을 조건도 없이 너무 모호하게 적어놨네요.

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

http://www.mathcounterexamples.net/maclaurin-series-converging-only-at-zero/
구글엔 모든게 있어뇨

[겨울_(silhouet72)]

만약 충분히 좋은(적어도 0 근방에서 정의되는) 함수 중에서 저런게 있냐는 거면, 저 밑에 글이랑도 연결되는 건데, 예를 들어 0에서 n계도함수 값이 n인 C^infty 함수가 있음을 보이면 됨. 그리고 실제로 그런 게 있음

[겨울_(silhouet72)]

n계도함수가 (n!)^2이도록 해야겠네 n이 아니라;

[익명(124.49)]

아 제가 궁금했던 내용입니다. 감사합니다. 근데 0에서 n계도 함수값이 n이면 수렴하지 않나요?

[겨울_(silhouet72)]

아 댓글 내용 좀 고치다 실수로 n으로 썼는데 훨씬 크게 잡아야 됨

[겨울_(silhouet72)]

실제로 수열 a를 아무렇게나 던져줘도 0에서 n계도함수 값이 a(n)인 매끄러운 함수가 있음.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Non-analytic_smooth_function#Application_to_Taylor_series

[익명(124.49)]

두분 모두 감사합니다.

[coco(175.196)]

Baire이론에 의하면 연속함수 중 모든점에서 미분불가능함수가 대다수이듯이, 무한번 미분가능한 함수 중 모든 점에서 비해석적인 함수가 대다수라네요.