Manfred stoll의 real analysis

임의의 집합 A와 자연수 집합 N 또는  집합 about n in N, {1, 2, 3 .. n}

 bijective map이 존재하면

A is countable

{1,2,.. n}과 bijective map 이 있으면 

A is finite

A 가 finite가 아니면 infinite

A가 finite가 아니면서 countable 이면

Countably infinite set

Sequance 는 N -> A 인 map


Countable set의 proper subset은 countable이다.

Subset E가 finite면 subset은 당연히 finite

Subset E가 countablely infinite set이면

N 과 set 사이에 bijective map이있을것이다.

E의 원소 x마다 n i in N 을 대응시켜주면

x_n 1 is the minimum in E

x_n i is the minimum in E \ {x_n i -1, ... x_1}

이제 sequance {x_ n i}를 f(i)= x_n i 로 정의하자

그러면 restricting 한 map이 bijective 임으로부터

{x_n i}는 bijective thus E is countable


g : N-> A가 surjective이면 A는 countable 이다.

A가 finite라면 countable이다.

A가 infinite라면

for a in A

Preimage {a}의 minimum number은 well ordering property로 부터 존재한다, let denote n_a


Map f: A -> N을 f(a)=n_a 로 정의하면

a=b 일때 preimage for a is eqaul to preimage for b

이므로 n_a= n_b

f는 well defined이고

g가 map이므로 f는 injective이고 surjectiveㅇㅣ다.

I.e A is countable


Countable set의 합집합은 countable이다.

Countable set을 ordering하면

Nth Elemenet Of mth set 을 x_m,n이라고 하자

N×N를 정의역으로하는 f(m,n)=x_m,n이면

f는 surjective이고 N과 N×N 의 cardinality는 같으므로

Countable


의문점 fintie set이면  from N×N to set인

함수가 정의될수있는가