[대학교이상] Borel-Cantelli lemma <<< 얘 뭐냐

[연쵸(solstice4649)]

{E_k} : measurable collection with Σm(E_k)<∞ =>

almost all x ∈ R belong to atmost finitely many E_k's

증명이 읽히긴 하는데, 얘가 시사하는 바가 뭐임?

* Gemini왈 무한개의 E_k에 속하는 x∈R의 set은 measure zero. 라고 하니까 이해됬음

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[익명(episode5899)]

a.s. 수렴을 보일 때 유용함 - dc App

[KRT(lonely0210)]

너가 이해한 대로 E_k의 measure가 충분히 작아지면 limsup E_k 가 measure zero라는 거지

[KRT(lonely0210)]

limsup E_k = \cap_n (\cup_{k \geq n} E_k )인 건 알고 있어야 하고 실제로는 m(E_k) <= 1/2^k 같은 경우를 많이 쓰게 됨.

[KRT(lonely0210)]

연습문제같은걸 풀다보면 E_k = {f_k 가 성질 P_k를 만족하지 않는 영역}의 measure가 1/2^k 보다 작도록 P_k를 설정할 일들이 생김

[KRT(lonely0210)]

그러면 Borel-Cantelli에 의해서 (혹은 그냥 직접계산하면) limsup E_k가 measure zero이고, x가 limsup E_k 바깥에 있다는 건 충분히 큰 모든 k에 대해서 x는 E_k 바깥에 있어야한다는 뜻이니까, null set을 빼고 나면 (pointwise하게) 충분히 큰 k에 대해 f_k가 성질 P_k 를 만족한다는 말이 됨

[연쵸(solstice4649)]

음 뒷부분에 f_n measurable => f measurable (pointwisely) 등의 내용이랑 소개가 되네 thx - dc App