[0,1]에서 연속인 함수 f에 대해, F(x)는 f를 [0,x]에서 적분한 함수로 정의하자.
F(1)=1인 임의의 f에 대해, f^2+F^2를 [0,1]에서 적분한 값이 M 이상이 되게 하는 M의 하한은?
Remark) 저 적분의 값이 M+1/n이하가 되게 하는 함수열 {f_n}이 존재하고 그것이 C^0[0,1]에 들어가는데 이 때 f_p-f_q의 L2 norm이 c 이상이면 (f_p+f_q)/2를 넣었을 때 적분의 값이 적어도 M+1/p-c/2이하라는 것을 이용하면 {f_n}이 L2에서 Cauchy이고 따라서 어떤 L2 function f로 수렴한다는 것을 알 수 있다.
따라서 f의 조건을 L2로 확장하면 등호조건이 존재한다. (덤으로 유일한 것도 알 수 있다)
*선수지식 : 미적분 알면 충분함. (적어도 답을 구하는 데는 미적분만 쓰임)
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정말?
당장 L^2함수 f에 대해 f^2의 적분이 1 이하이려면 f는 almost everywhere 1이어야 하는데 그러면 F(x)=x가 될 거고 그래서 총합은 1이 될 수 없는듯
1=F(1)^2=integral 0 to 1 2fF =< integral 0 to 1 f^2+F^2 라서 써봄 상계는아니냐
음 그러니까 상계는 아니고 하계지
coth(1)? - dc App
오 답은 그런 값인데
이유는?
ㅈㅅ 사실 걍 변분법 때렸습니다ㅎㅎ - dc App
어떻게 풀었든 제대로 풀었으면 좋은 답이지 근거없이 막갖다 넣은 것도 아닐테고