0근방의 구간에서 정의된 구간에서 정의된 함수 f가
음이아닌 정수 n에대해 f^(n)(0)이 존재할 때
즉 0에서 n계 미분계수 값이 존재할 때
f의 정의역을 0 근방의 적절한 구간으로 줄여서 만든 함수 g를 매끄러운 함수로 만들 수 있나요?
미분가능성에 대해 생각하면 f가 0에서 n계 미분계수를 가지므로
f의 n계 도함수는 0근방에서 연속이면서 미분가능하다고 볼 수 있고
f의 정의역을 0근방의 적절한 구간으로 줄이면 이는 매끄러운함수가 될 거 같은데 제 생각이 맞나요?
맞다면 엄밀한 증명은 어떻게 해야할까요? 미적분학수준에서는 그냥 이정도 서술로 충분한가요?
음이아닌 정수 n에대해 f^(n)(0)이 존재할 때
즉 0에서 n계 미분계수 값이 존재할 때
f의 정의역을 0 근방의 적절한 구간으로 줄여서 만든 함수 g를 매끄러운 함수로 만들 수 있나요?
미분가능성에 대해 생각하면 f가 0에서 n계 미분계수를 가지므로
f의 n계 도함수는 0근방에서 연속이면서 미분가능하다고 볼 수 있고
f의 정의역을 0근방의 적절한 구간으로 줄이면 이는 매끄러운함수가 될 거 같은데 제 생각이 맞나요?
맞다면 엄밀한 증명은 어떻게 해야할까요? 미적분학수준에서는 그냥 이정도 서술로 충분한가요?
매끄러운 함수가 무한번 미분가능한거면 당연히 안되죠
그럼 오직 0에서만 무한번 미분가능하고 그외의 구간에서는 미분 불가능한 함수가 있다는건가요?
글 내용하고 여기 댓글하고 질문이 다른 것 같은데 매끄러운 함수의 정의가 뭔가요
구간에서 f의 n계 도함수들이 연속인 함수들입니다.
극단적으로 f가 [-1,1]에서 정의되고 0에서 forall n, f^(n)(0)=0 이라고 하더라도 f는 0을 포함하는 임의의 개구간에서 연속조차 안되게 할 수 있습니다.
아 그렇군요ㄷㄷ
아 근데 임의의 개구간에서 연속이 아니라 하더라도 0에서는 연속이여야 하는거 아닌가요? 제 질문은 그런 함수가 있더라도 그 함수의 정의역을 충분히 줄여서 만든 함수가 매끄러운함수가 될 수 있는가입니다.
어떤 구간에서 함수가 매끄러우려면 일단 그 함수에서 연속이어야 하잖아요? 아니면 다른 걸 물어보시는건가
음, 그니까 0에서는 연속이니 불연속점을 제외하도록 정의역을 줄일수 있는지가 궁금했습니다. 좀더 명시적으로 말하자면 집합S={0이상인 f의 불연속점}으로 정의할때 minS가 존재하지 않을 수 있나요?
바이어슈트라스 함수에다가 e^{-1/x^2}같은 거 곱해봐요