[일반] 님들 호몰로지 intuitive한 설명이나 예제같은거 없을까요

[익명(211.198)]

대체 왜 이런 체인을 생각하고 거기서 이미지랑 커널의 커션트를 왜생각하는지를 모루겟소요

[ㅇ(1.236)]

대수위상에서 튀어나온거라 대수위상 안배우고 호몰로지대수부터하면 intuition이 있을수가없다

[힐베르트(eisenbud)]

syzygy

[차린(charin9)]

닉값 - dc App

[ns(qwer2357)]

homology 예제는 vertex, (directed) edge, (oriented) face로 이루어진 delta complex에서 free abelian group on V, E, F로 만든 공간에서 homology 계산하는거.. 당연히 두번의 바운더리 연산은 0

[ns(qwer2357)]

cohomology예제는 R3의 영역 S에서 정의된 실변수함수를 0번째랑 세번째에 놓고, 같은곳에서 정의된 R^3으로 가는 함수를 1번째 2번째 놓은뒤 연결함수를 grad, curl, div로 넣으면 역시 미적분학에서 배운 curl grad f=0 div curl F=0이 axiom 만족

[ns(qwer2357)]

cohomology로 의미를 따지면, 벡터장 F가 curl F=0이면 F가 잠재함수를 가지느냐(즉 F = grad f for some f)는 문제가 first cohomology가 0인지 아닌지 묻는 문제가 됨

[ns(qwer2357)]

좀더 쉽게 2차원공간에서 grad, curl로 이루어진 cochain complex의 first cohomology가 0이란건 curl이 0인 벡터장은 언제나 잠재함수를 가진다는 뜻임. 알다시피 R2에서 원점 뺀 공간에서 정의한 각원소장은 잠재함수를 가지지 않는데 이 경우는 걔가 cohomology의 generator가 됨

[ns(qwer2357)]

대수에서 ker/im을 적을때 ker에 해당하는게 curl=0인 벡터장을 말하고 im에 해당하는게 grad f for some f에 해당

[익명(211.198)]

오우 뒤에 말씀하신 코호몰로지 혹시 이름이 있을까요 제가 봐본 코호몰로지랑 연결이 되는지 잘 안보여서요

[Crime(thecrime)]

대수적 관점에서 보면 Hilbert의 공헌을 빼놓을 수 없을 것 같습니다. 위의 Syzygy 언급이 있어서 조금 반갑기도 합니다. Hilbert는 주어진 group action에 대해서 invariant한 함수, 특히 다항함수의 특성을 공부하고자 하였습니다. 그 과정에서 대수방정식 뿐만 아니라 그들 사이의 관계식 -- Cayley, Sylvester 등에 의해서 이미 수 차례 언급되었던 -- 에 주목하기 시작하였고, 이는 syzygy와 resolution의 개념으로 이어지게 됩니다. 간단히 말하자면 Object (= module)에 대한 정보와 그 주어진 module의 resolution은 동등하다는 철학이고, 당연히 정보가 더 많이 압축된 object 자체보다는 resolution이 해석이 쉽겠죠.

[Crime(thecrime)]

Resolution은 아주 특수한 형태의 (co/chain) complex 이므로 homological algebra의 중요한 motivation이라고 할 수 있겠습니다. Chain complex 그 자체에 대한 motivation은 정확히 알고 있지는 못합니다만, 아마도 위상수학이라고 생각합니다. 제 견해로는, 위상수학에서 다양체를 대수적/조합적으로 이해하는 첫 걸음마는 triangulization이라고 생각합니다. 이를 통해 Euler characteristic 등의 조합적 불변량들을 생각할 수 있게 되며, 이론적으로도 '아주 단순한 building block'들을 자명하지 않게 이어붙여 나가는 과정으로 다양체를 바라볼 수 있게 됩니다.

[Crime(thecrime)]

이 조합적 발상으로부터 '기초적인 block', 그리고 그들 사이의 관계 -- 삼각형과 삼각형을 이루는 세 선분처럼 -- 를 생각하면 꽤나 자연스럽게 simplicial complex라는 개념에 도달하게 됩니다. 정확히 누가 처음으로 이 complex를 발견해냈고, 누가 하필이면 이 complex를 'exact sequence'의 일반화로 생각했는지, 그리고 얼마나 주어진 complex가 exact sequence에 가까운/먼 지를 측정하려 시도하였는지는 잘 모르겠습니다. 다만 Poincare가 이미 fundamental group의 abelianization이 first (singular) homology group이 된다는 사실 등을 알고 있었다고 기억합니다.

[Crime(thecrime)]

훨씬 단순한 기하학/위상수학적 motivation에서 출발한 fundamental group의 많은 정보를, 더 쉽게 계산할 수 있다는 것은 매우 매력적인 이야기이지요. 이후에 (현대에 이르러서도) (co-)chain complex와 (co-)homology 이론은 위상수학에서 아주 중요한 계산 도구로 사용되게 됩니다. 또한 카테고리 이론, 대수기하 등과 만나 아주 놀라운 발전과 새로운 현대 수학의 이론들로 이어지게 됩니다. 워낙 기라성같은 인물들이 많지만, 개인적으로는 초기에 Poincare, E. Cartan, Eilenburg, Cech 등의 역할과 기여가 눈부셨다고 꼽고 싶습니다.

[Crime(thecrime)]

ns님의 예제는 de Rham cohomology입니다. de Rham complex는 i번째 항이 differential i-form 들로 이루어져있는 cochain complex입니다. R^3를 예제로 생각해봅시다. 좌표계를 (x, y, z)라고 하면, differential 1-form은 dx, dy, dz로, 2-form은 dx \wedge dy, dy \wedge dz, dz \wedge dx, 3-form은 dx \wedge dy \wedge dz 로 생성됩니다. 여기에서 (co-)Boundary map의 역할을 하는 것이 바로 gradient, curl, divergence이고, 이 경우 상식적이고 물리적인 해설이 가능합니다. 이를테면, 회전장의 divergence는 0이다 라던지요.

[Crime(thecrime)]

수학적으론 단순히 d^2=0 에 지나지 않지만요. Poincare lemma에 의해, 이 de Rham complex는 사실 (0번째를 제외하고) 비자명한 코호몰로지 군을 갖지 않는데, 이 것을 grad, curl, div로 해석하면 벡터 미적분학에서 나온 정리들 -- 예를 들면, 위의 물리적 해설의 역인 "divergence free 벡터장은 사실 회전장이다" -- 을 의미하게 됩니다. 여기에 de Rham 정리를 넣으면 미적분학의 기본정리 (Stokes' theorem)을 얻게 됩니다. 미적분학에 기초한 복잡한 계산과 물리적 직관은 이제 더 이상 필요하지 않고, 많은 정리들이 'de Rham complex는 resolution이었다' 라는 사실 하나에서 도출되게 됩니다. 아주 매력적인 도구임이 확실하죠.

[Crime(thecrime)]

Poincare가 "수학자는 서로 다른 것에 같은 이름을 붙이는 사람이다" 라고 말했다고 전해지지요. 다양한 분야에서 자연스럽게 도출되며 그들을 연결, 통합하는 것을 관찰하다보면, 사실 호몰로지라는 것은 더 큰 이론 하에서 합리적이고 자연스러운 도구가 아닌가, 하고 추측할 수 있게 됩니다.

[익명(211.198)]

정성스러운 설명 감사합니다. 'module에 대한 정보와 그 주어진 module의 resolution은 동등하다' 라는 부분이 핵심인거 같은데 잘 와닿지 않는게 제 문제인거 같습니다. 우선 대수위상책(해쳐책을 보고있습니다)을 끼고 열심히 보는게 나아가는 길일까요...

[Crime(thecrime)]

쉬운 예제를 하나만 생각해보죠. (Module) F_2 = Z/2Z 를 생각하는 대신에, 이 친구를 multiplication map (x2) : Z -> Z 의 cokernel로 생각할 수 있습니다. Free module 사이의 multiplication map (x2)을 잘 뜯어보는게 주는 이점들이 있겠죠? 언제든지 원래 주어진 module 을 원한다면 cokernel을 취하면 되고, 대신에 free module들의 좋은 성질을 거의 다 가져올 수 있을테니까요.

[익명(211.198)]

와 감사합니당 '원래의 Module을 살피는 대신 Free module 사이의 map 을 잘 뜯어보는게 주는 이점' 이 뭘까를 의식하면서 읽어봐야겠네요