"지표가 2가 아닌 체의 원소를 성분으로 하는 두 대칭행렬의 특성다항식이 같다면, 이 둘은 같은 쌍선형형식의 행렬표현이다."


이 문장이 참인지 거짓인지 판별하는게 문제인데요. 인터넷 상 답지가 좀 이상해서 질문드립니다.


이걸 다음과 같이 풀어도 문제 없을까요? 




1. F=R일 때, 두 대칭행렬을 A, B라고 하면, 실수 대칭행렬이므로 각각 자기수반행렬이고, 따라서 고유벡터로 이뤄진 정규직교기저가 존재함. 


따라서, A=QtD1Q, B=PtD2P , 이때, Q와 P는 각각 직교행렬임. 즉, A, B는 각각 D1, D2와 합동이자 동시에 닮음임. 


따라서, A는 D1과 특성 다항식이 같고, B는 D2와 특성 다항식이 같음. 근데, 문제에서 A, B의 특성다항식이 같다고 했으므로,


D1과 D2의 대각성분은 순서를 무시하면 같음. 그러므로 실베스터 관성정리에 의해 D1과 D2는 합동임. 


따라서, A와 B는 합동임. 



2. F=C일 때, 두 대칭행렬 A, B는 성분이 복소수이므로 대수학의 기본정리에 의해 각각의 특성 다항식이 완전히 인수분해됨.


특성 다항식이 완전히 인수분해되면, 상삼각행렬과 닮음임. 그런데, A, B의 특성 다항식이 같다고 했으므로 각각의 상삼각행렬 


A', B'의 대각성분이 순서를 무시하면 같음. 따라서, A', B'의 랭크가 서로 같고, 닮음 행렬의 랭크는 같으므로 A, A', B', B의 랭크는 모두 같음.


그런데, 복소수 성분의 대칭행렬을 대각화 한 뒤에 대각 성분은 복소수이므로 양수 음수의 개념이 없고, 복소수 c=|r|e^ib 꼴이므로 


모두 복소평면 상의 단위원 상의 점으로 변환할 수 있음. 즉, 복소 대각행렬에서의 불변량은 랭크 뿐임. 


따라서,  A, A', B', B의 랭크는 모두 같으므로 A와 B는 합동임. 



3. F가 R, C가 아닐 때는 몰루?