[일반] 함수해석학 질문

[익명(roanp)]

어떤 Domain 위에서 정의된 Radon measure로 order 0 의 distriubtion을 정의할 수 있는데, 그 반대도 가능한가요?

즉, 임의의 order 0 의 distribution T가 주어지면 어떤 Radon measure \mu가 존재해서 T\phi=\int \phi d\mu 로 쓸 수 있는지 궁금합니다.

리스 표현 정리를 이용해서 메져를 구성해보려는데 쉽지 않네요..

[익명(124.254)]

, 정확히 맞습니다. Order 0 분포는 본질적으로 '복소 라돈 측도(complex Radon measure)'와 같습니다. 이유: Order 0 분포의 정의(|T(\phi)| \le C_K \|\phi\|_{L^\infty})는, 이 분포 T가 테스트 함수의 '미분값'은 전혀 보지 않고, 오직 '함수값' 자체의 크기(sup-norm)에만 의존한다는 의미입니다. 이는 \int \phi d\mu (적분) 연산의 특징과 정확히 일치하며, 수학적으로 **'리스 표현 정리(Riesz Representation Theorem)'**가 C_c(\Omega)(연속 함수 공간) 상의 이러한 선형 연산(functional)과 '측도'가 완벽하게 일대일 대응 관계임을 보장해줍니다. (엄밀히는, 일반적인 분포는 '복소'

[수갤러 1(112.148)]

Test function들이 sup norm으로 조밀하니까

[익명(roanp)]

C_c^\infty(X)^* 를 C_o(X)^* 로 확장한다음 리스표현 정리를 적용하라는 뜻인가요?

[수갤러 2(147.47)]

ㅇㅇ

[수갤러 3(106.101)]

지금 다시 보니까 order의 정의에 나오는 상수가 compact set에 의존해서 Riesz thm을 바로 쓸 수는 없는데, 그냥 exhaustion을 잘 잡고 각각의 작은 영역에 Riesz thm을 써서 distribution이 measure와 일치함을 보인 다음 그걸 다 합쳐야 함

[수갤러 3(106.101)]

그리고 그렇게 measure를 합쳐서 나온 건 measure가 아닐 수도 있음. 예를 들어 e^ix/x를 (0, infty)에서 정의된 distribution으로 보면 이건 명확하게 order 0이지만 complex measure가 될 수 없지

[수갤러 3(106.101)]

그래서 order 0인 distribution은 local하게 measure처럼 생긴 것들이 됨. 다만 positivity같은 걸 추가로 가정한다면 positive version의 Riesz thm을 쓸 수 있으니 이건 positive measure가 되겠지

[익명(roanp)]

혹시 관련된 내용을 찾을 수 있는 교재나 링크가 있을까요?

[수갤러 3(106.101)]

레퍼런스를 보고 쓴 댓글은 아니라 잘 모르겠는데 좀 더 찾아보니까 Bourbaki가 애초에 measure를 order 0 distribution으로 정의하는 것 같긴함. 근데 Bourbaki 책을 읽어보란 말은 차마 못할듯

[수갤러 3(106.101)]

https://math.stackexchange.com/questions/3406761/on-the-bourbaki-measures-and-radon-measures

[익명(roanp)]

감사합니다.