[일반] 미분기하 진짜 모르겠네

[익명(virgestirn)]

오닐 보는중인데 미분형식으로 추상화해서 전개하려는건 알겠는데

증명들은 죄다 "계산해보니 그렇더라" 식이라 와닿지도 않고

어쩔땐 계산하라하고 어쩔땐 추상적으로 보라하니까 어느장단에 맞춰야할지 아직 모르겠다

미분형식을 왜쓰는지를 알려면 더 상위레벨 과목을 배워야한단건 아는데

지금은 "일단 받아들여"식의 전개가 너무 많으니까 좀 답답허네

공식 주구장창 갖다쓰는게 맞는방법인가

저자가 뭘 배우길 원하는지를 아직 모르겠음

[수갤러 1(126.6)]

책 다시 읽어봐봐. 오닐에서 계산으로 증명하는 것들은 계산해보니 그렇더라가 아니라 방향미분과 탄젠트 벡터를 정의한 다음에 미분을 탄젠트벡터의 mapping으로 정의하는 과정이 설명되어 있음. 그리고 이 부분은 아마 오닐에서 제대로 설명이 안나와있었던 거 같긴 한데, 미분형식이 왜 exterior derivative나 wedge product라는 특정한 operation에 의해 정의되느냐는 사실 determinant의 성질을 만족하는 multilinear functional이 유일하다는 것과 맞닿아있음. 선형대수를 같이 보면 이해가 잘 될 것임.

[수갤러 1(126.6)]

물론 이런 정보들이 선명하게 드러나는 건 아니라서 니가 책을 읽으면서 정리를 하면서 봐야 알 수 있긴 할 것임. 아래 링크 글을 한번 읽어보고 미분형식이 무엇인가에 대한 이미지를 갖춘 다음에 오닐 책을 다시 읽어보면 무슨 말인지 알 것임.

[수갤러 1(126.6)]

@수갤러1(126.6)
https://pomp.tistory.com/941

[수갤러 1(126.6)]

미분형식을 정의하는 과정이 아니라 미분형식을 써야하는 이유 자체를 모르겠다면 미분형식을 써야 엄밀하게 잘 정의되기 때문이라는 게 답임.

[수갤러 1(126.6)]

내가 오닐 읽었을 때는 일단 받아들여 식의 전개가 기본적으로 없던 걸로 기억함

[캔디뜯죠(1wq1wq)]

이 모든건 tangent vector와 cotangent vector의 부피를 뱉어내는듯한 pairing을 주기 위함정돈데 이는 정확히 alternating bilinear form과 대응됨... 별개로 오닐이 중구난방을 책을 써놔서 첫 댓말대로 혼자 미분 다양채 책 참고하면서 다시 다 써봐야 할 필요는 있는듯 - dc App

[캔디뜯죠(1wq1wq)]

사실 난 exterior derivation도 boundary의 adjoint로써 받아들여야 그 의미가 더 직관적이라 생각하는데 이런 내용도 잘 안나왔던거 같고 - dc App

[캔디뜯죠(1wq1wq)]

+ 뒷부분은 이런내용과는 좀 다르게 리마니안 지오메트리 on surface라 이런 구체적인 대상들에 일단 집중하는거도 나쁘진 않아보임 - dc App

[익명(virgestirn)]

1학기 내용부터 날잡고 천천히 읽어봐야겠구만.. 지금은 뭔가 잘못되고 있는 중이긴 하단거니

[수갤러 2(218.239)]

오닐이 굳이 굳이 미분형식을 설명하는 이유는 1. 좌표계로부터의 해방(내재적 성질) 2. 고전적인 미분연산자 Gradient, Curl, Divergence을 외미분 d로 통합 3. n차원 일반화 4. 이게 가장 중요한데, Moving Frames를 분석할때 미분형식을 쓰면 복잡한 편미분 계산 없이 단순한 계산만으로 곡률 같은 정보를 캘 수 있음. 이게 바로 "내재적 계산"의 장점임. Docarmo같은 책은 물론 내재적인 관점에 대한 설명을 하기는 하는데 계산은 전부 "외재적 계산"이라 상당히 복잡한 계산을 수행해야할때가 좀 있음. 예를들면 Christoffel symbol이 있지. 또, 장기적으로 봤을때 교육적으로 미분형식을 다루는게 훨씬 좋기 때문에도 있음.

[익명(virgestirn)]

오 이거 곱씹어보면 이해될것같음 ㄱㅅㄱㅅ