이동, 반사, 회전 등의 변환들의 집합이 군을 이룬다는 걸 알았습니다
그렇다면 임의의 군도 저런 기하학적인 의미를 갖는 집합으로 analogous하게 표현할 수 있나요?
예를 들어 E^2를 가정해볼게요
Z_2는 {e, 180도 회전}과 isomorphic하고
Z_3은{e, 60도 회전, 120도 회전}과 ismomorhic합니다
이런 식으로 어떤 군을 가져와도 기하학적인 대상으로 해석할 수 있냐는 질문이에요
기하학적이라는 말이 모호하지만 그냥 여러분들의 의견이 궁금해서요
finite abelian group은 가능할 것 같네요 대신 E^n이어야겠지만
마침 그런 식으로 군을 벡터공간의 linear transformation으로 '표현'하는걸 representation이라고 부릅니다. 그 자체만으로 한 분야가 될 정도로 상당히 중요한 주제고 아마 faithful representation에 관심이 있으실 것 같네요 질문에 대해서는, 모든 군이 유한차원 faithful rep을 항상 가지는건 아니지만 (일반적으로 생각하는건 다되지만 좀 큰것들은 안됨) 무한차원까지 생각하면 항상 가집니다
정말 감사합니다 교수님!!!
부연설명하자면, 여기서 faithful란 뜻은 group의 모든 distinct element가 하나의 distinct representation matrix에 대응된다는거임