sqrt(n^2+n)-sqrt(n^2) 이런 문제 있잖아
물론 유리화해서 계산하면 1/2이 나온다는건 아는데, 직관적으로 받아들여지지가 않는다. sqrt(n^2+n)=n(sqrt(1+1/n)) 이니까 limn>무현일 때 n[sqrt(1+1/n)]-n = 0 아니냐? 직관적으로 봤을때도 루트 110-루트100
루트 10100-루트10000 루트 1001000-루트 1000000 가면 갈수록 n^2에 비해 n의 증가량이 한없이 작고 루트는 커질수록 둔감해지니까 (루트 11과 루트10의 차이, 루트102와 루트100의 차이만 보더라도 루트 안의 값의 차이는 더욱 커졌지만 함수값 자체의 차이는 더 작아졌잖아.) 0에 수렴해야 되는 것처럼 느껴지는데
루트10100은 대충 100.498이고 루트1001000은 대충 1000.499875임. 실제로 계산해봐도 소수부분이 점점 0.5에 다가가고 있지
그렇네
그럼 앞에 써놓은 계산법은 어디에서 오류가 발생한거? sqrt(n^2+n)=nsqrt(1+1/n) 이거
@ㅇㅇ(118.33) 조금 더 단순하게, 예를 들어 n*(1+1/n)-n의 극한이 0인지 1인지 잘 생각해보면 됨
n이 무한으로 가면 (1+1/n)은 1에 수렴하니 n-n으로 볼 수 있다고 생각한 부분이 착각인가? 1에 수렴하는거지 1이 아니니까 n이 유한하지 않을 때는 n으로 볼수 없는건가? 마치 limx>무한 (1+1/x)^x=e로 수렴하듯이
그렇지. 괜히 부정형이라는 말이 있는 게 아님 부정형은 마음대로 어느 한쪽 극한을 먼저 취하면 안 됨
@ㅇㅇ(147.47) 든 예시의 *이거 제곱을 의미하는거?
그냥 곱한거
@ㅇㅇ(147.47) 1아니냐
그래 0이 아니니까 본문 극한도 0이 아님
@ㅇㅇ(147.47) 근데 좀 다르지 않나? 예를들어 n(1+1/sqrtn)-n 이거는 무한대로 발산하잖아 때에따라 다른데
@ㅇㅇ(147.47) 뭐 어쨌든 저런 부정형은 직관보다는 식변형과 항등식을 통해 우리가 아는 분수꼴로 계산하는게 좋단 거지?
요는 극한을 일부만 떼서 먼저 계산하지 말라는거임 직관적인 예시가 n*1/n 같은 경우고
그거 직관적으로 이해하는법 알려줌. sqrt(n^2+n) 라는놈을 잘 생각해봐 n^2+n+상수 이라는 놈이 (n+1/2)^2-상수 꼴임. 즉 루트 씌우면 앞에 제곱파트만 정상적으로 출력될꺼고, 뒤에 "-상수" 파트는 n이 커짐에 따라 0에 가까운 값으로 수렴하겠지. 그니까 n이 무한히 커질수록 sqrt(n^2+n) 은 (n+1/2)에 가까워 지는 놈인거임. 부등식으로도 보일수 있는데 그건 귀찮아서 생략할게.