위상수학에 대해 아는 건
찰흙처럼 주물러서 같으면 위상동형
일대일대응 연속함수, 역함수연속함수 존재하면 위상동형
이정도로 찍먹했는데요
그냥 주물러서 같아지면 같으면 위상동형이라는 건 뭐 그렇다치는데
구와 도넛이 다르다는 건 좀 비약이 있어보여서 나름대로 생각해본 게 맞는지요
A 근처에서 파란 점들과 빨간점들의 상대적인 위치가 대략 교차하는 양상일 때
도넛 위 빨간점들을 원소로하는 그림같은 닫힌연속곡선이 있으면
구 위에도 어떤 닫힌연속곡선이 대응될 것이고
도넛 위 파란 점들을 잇는 그림과 같은 닫힌연속곡선은 추가로 교차하지 않지만
구 위의 파란점들을 잇는 닫힌연속곡선은 무조건 한 번 더 교차해야하므로(폐곡선이 구를 두 영역으로 자르니까 사잇값정리 비슷?하게)
도넛의 파란색폐곡선에 구 위의 점들을 대응시키는 함수가 없다
(구에서의 교점에 대응하는 도넛 위의 점이 존재할 수 없다)
따라서 위상동형이 아니다.
도넛 위에서는 파란선이 붉은선과 교차하지만 구 위로 옮기고 나면 둘이 접해서 구 위에서도 교점이 하나일수도 있지
도넛위 A의 아주 작은 근방에서는 빨간선이 그 근방을 둘로 자를테고 파란점 중 어느 두개는 서로 다른 영역에 있을텐데 근데 그걸 옮겨서 한 영역에만 있게 만드려면 다른 경로를 탐색해야하는데 구를 완전히 잘라버리니까 못찾아서 없다 라고 하면 밑에 적힌 풀이인거네요
좀 더 교과서적인 풀이로는 구에서 폐곡선을 빼면 항상 connected가 아니게 되는데 토러스는 equator를 빼도 connected라서 구와 토러스는 위상동형이 아니라고 증명하긴 하는데, 님 증명도 이거랑 비슷한 듯
그런 것 같아요
이 말 자체로 완전한 증명이라고 보기엔 애매하지만 이걸 좀 다듬으면 둘이 미분동형(위상동형보다 좀더 센것)이 아님을 보일때 써먹을수는 있음 본문에서 말한 '대략 교차하는 양상' 즉 서로 접하게 만나지 않는 두 커브를 transverse하게 만난다고 하는데, 이때 이 transversality랑 방향을 고려한 두 커브의 교차점 개수는 미분동형에 불변이거든 본문에서 잡은것처럼 도넛위에 transverse하게 한번 만나는 두 커브를 잡은 뒤에 구로의 미분동형이 존재한다면 구에서도 그래야 하는데 구에서는 교차수가 항상 0이어야 해서 방향 고려안했을때 짝수여야함 그리고 사실 2차원에서는 미분동형이나 위상동형이나 똑같음
너 호몰로지 배워라
직관이 좋으시네요
정병훈갤러리에서 왔는데요.. 수학과 추천하시나요??
저는 수학교육과이긴 한데 제가 전공수학 적성이라고 느꼈던 포인트는 수학2에거 평균값정리로 함수 증감 증명하고 부정적분의 해집합 증명하고 하는 게 재밌다는 점이였어요 아무래도 취업 생각하면 다른 물리화학을 쓰는 다른 학과나 통계학과가 더 맞겠죠