[일반] 만약에 원함수가 전단사 함수이고 정의역에서 연속이면

[익명(119.196)]

그 역함수도 정의역(원함수의 치역이자 공역)에서 연속이라고 할 수 있음?

예를들어서 x^n(n은 양의 홀수)은 증가함수니까 전단사함수이고, 다항함수니까 실수 전체에서 연속일텐데

이의 역함수인 x^(1/n)도 그 정의역에서 연속이라고 단정지을 수 있음? 직관적으로는 그런거 같은데

어떻게 증명을 해야할지 모르겠노. 

초보라 질문이 엉성할 수 있어서 양해 부탁드림

[suis1(jewel9389)]

코도메인에 이미지에 속하지 않는 원소가 있다고 생각했을 때 전단사가 아님을 보이면 될 것 같은디요

[익명(112.148)]

(0,1)에서 x, [2,3]에서 x-1인 함수는 연속이고 전단사인데 역함수가 연속이 아님

[연쵸(solstice4649)]

원래 함수 정의역이 구간이냐 아니냐에 따라 다르지 - dc App

[ALTa(tladud123)]

임의의 위상공간에서는 성립하지 않는데 아마 물어본건 R^1 내에서의 연속이었을 것이고 거기선 참임 f((a, b)) = (f(a), f(b))가 당연히 참이고 뒤에가 open이니까 f는 open map이고 f^-1는 continuous지

[ALTa(tladud123)]

근데 아마도 못알아들었을테니 고교 수준에서 말하면: y = f(x)가 연속이면 직관적으로 y = x 대칭시켜도 연속임 (실수 전체에서 연속함수인 걸 말하는것)

[익명(119.196)]

다들 답변 감사함. "(0,1)에서 x, [2,3]에서 x-1인 함수는 연속이고 전단사인데 역함수가 연속이 아님" 이 반례도 좋은데 제가 알고 싶은 것은 분절돼있지 않고 한붓그리기?가 가능한 함수에 대해서 입니다. 제가 내공이 부족해서 다들 달아주신 답변들 아직 이해가 안되노. 여튼 ㄱㅅ

[suis1(jewel9389)]

AI써라 솔직히 웬만한 학부생 7할 정도는 바른다

[익명(episode5899)]

정의역이 실수의 구간이면 니 말이 맞음 - dc App

[익명(112.148)]

ㅇㅇ 정의역이 이어진 구간 하나면 연속인 전단사의 역함수도 항상 연속임

[수갤러 1(14.5)]

이것때문에 Top이 은근 좆같아짐

[수갤러 2(106.101)]

R² 평면에 놓여있는 open segment (-1,1)를 변형해서 figire 8로 만든 전단사 연속 사상은 역함수가 연속이 아니예요.