1. AㅅB=(AnB^c)u(A^cnB)={Au(A^cnB)}n{B^cu(A^cnB)}
=(AuA^c)n(AuB)n(B^cuA^c)n(B^cuB)=(AuB)n(AnB)^c

2. AㅅB=(AnB^c)u(A^cnB)=(BnA^c)u(B^cnA)=BㅅA

3. (AㅅB)ㅅC
= [{(AnB^c)u(A^cnB)}nC^c]u[{(AnB^c)u(A^cnB)}^cnC]
={(AnB^cnC^c)u(A^cnBnC^c)}u[{(A^cnB^c)u(AnB)}nC]
={(AnB^cnC^c)u(A^cnBnC^c)}u{(A^cnB^cnC)u(AnBnC)}
=(AnB^cnC^c)u(A^cnBnC^c)u(A^cnB^cnC)u(AnBnC)
=(BnC^cnA^c)u(B^cnCnA^c)u(B^cnC^cnA)u(BnCnA)
=(BㅅC)ㅅA=Aㅅ(BㅅC)

4. 임의의 집합 A에 대해 (AㅅE)=(EㅅA)=(AnE^c)u(A^cnE)
=A=(AnE^c)u(AnE) <-> EnA^c=EnA <-> E=∅

5. 임의의 집합 A에 대해 (AㅅX)=(XㅅA)=(AnX^c)u(A^cnX)
=E=∅ <-> AnX^c=A^cnX=∅ <-> X=A

6. 자연수 n>=2에 대하여
A1ㅅA2ㅅA3ㅅ•••ㅅAn은 A1~An 중에서 여집합을 씌우지 않은 개수가 홀수가 되도록 선택하여 만들 수 있는 모든 교집합의 합집합이고
(A1ㅅA2ㅅA3ㅅ•••ㅅAn)^c은 A1~An 중에서 여집합을 씌우지 않은 개수가 짝수가 되도록 선택하여 만들 수 있는 모든 교집합의 합집합이다.
pf)
i) n=2
A1ㅅA2=(A1nA2^c)u(A1^cnA2)
(A1ㅅA2)^c={(A1uA2)n(A1nA2)^c}^c=(A1^cnA2^c)u(A1nA2)

ii) n=m일 때 성립한다고 가정
A1ㅅA2ㅅA3ㅅ•••ㅅAn을 편의상 Xn이라 하자.

iii)n=m+1일 때
Xm+1=A1ㅅA2ㅅA3ㅅ•••ㅅAmㅅAm+1=XmㅅAm+1
=(XmnAm+1^c)u(Xm^cnAm+1)에서
A1~Am+1중에서 여집합을 씌우지 않은 개수가 홀수가 되도록 선택하여 만든 모든 교집합은 Am+1에 여집합을 씌운 집합와 씌우지 않은 집합으로 나눌 수 있고 전자의 합집합은 XmnAm+1^c 후자의 합집합은 Xm^cnAm+1이다. 따라서 Xm+1역시 성립한다.
(Xm+1)^c=(Xm^cnAm+1^c)u(XmnAm+1)역시 마찬가지로 증명된다.