[대학교이상] 형님들 행렬질문있습니다

[익명(50.24)]

어떤 행렬이 0과 1로 이루어진 (대부분 0) 무한행렬이라고 합시다 이때 이 행렬의 행렬식이 0이면 이 무한행렬이 부정 또는 불능이라고 해석할수 있나요?

소중한 답변 부탁드립니다

[익명(112.148)]

무한행렬의 행렬식이 뭔데

[suis1(jewel9389)]

0과 1로 이루어진거면 uncountable인 걸 작성자님도 알고 계실텐데 행렬식을 어떻게 정의하실 건지 좀 궁금하네요

[ㅆㅅ(siiot)]

앞의 유한개 항 빼고 모두 0으로 된 R 위의 sequence를 모아 놓은 집합을 V라 하면, V에는 basis B = {(1, 0, 0, ...), (0, 1, 0, ...), ...}이 존재하게 됨. B가 countable이니 V에서의 linear map을 B에 대한 행렬로 자연스럽게 나타낼 수 있음. 문제는 행렬식을 유한 차원의 경우로부터 확장해서 정의할 수 없다는 거임. V 위의 행렬로부터 행렬식을 정의하려면 무한합과 무한곱을 다뤄야 하는데, 수렴성이 보장되지도 않고 계산 순서에 따라 값이 바뀔수도 있음. (제한된 경우에서만) 어찌저찌 행렬식을 잘 정의했다고 해도 행렬식 값이 0이라는 게 줄 수 있는 정보는 한정적일 것임.

[ㅆㅅ(siiot)]

예를 들어 유한 차원에서는 행렬의 kernel이 0이라는 것과(즉 행렬식이 0이 아님) invertibility가 동치인데 반해, 무한 차원에서는 그런 보장이 없음. 만약 무한 행렬식이 kernel이 0이라는 것을 detect할 수 있게 정의할 수 있다쳐도, 행렬식이 0인데 행렬이 invertible이 아닐 거라는 보장은 없다는 거임. 이 때문에 무한 차원 벡터 공간을 다루는 functional analysis에서는 일반적으로 좋은 성질을 주는 행렬을 사용할 수 없기 때문에, 벡터 공간에 topology 등 추가적인 구조를 줘서 공부함