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3-c 푸는데 지피티한테 물어봐도 헛소리하길래 구글링하다가 얻은 전혀다른접근법의 힌트보고 나름대로 노력해봄.
근데 이게 계속 틀렸다는데 근거도 헛소리함 막 chart image를 Rⁿ전체로 잡을수 없대 ㅅㅂ이.
이거 내가 개병신인게 맞는지 뭔지 판독해줄 귀인 구함뇨이.

(책은 슨피박1권인. 매니폴드 정의를 locally Euclidean metric space로 하는 셋팅임)



풀이는 아래와 같슨.(저능해서 증명 좃같이쓴건 좀 양해를구하는바이노.)


a in M(M은 locally Euclidean metric space)에 대해 a를 포함하는 arc component A={x in M : there exists an arc from a to x} 가 clopen임을 보이자.

closed :
y는 A의 limit point라 하자.
y주변의 chart (U,X)의 domain U 내에 x in A가 존재한다. (X(U)는 특별히 Rⁿ 전체이도록 조정했다고 하자.)
p를 from a to x 인 arc라 하자.(난 p를 그냥 map의 의미로 썼음)
p의 image P가 y를 포함하는경우, y에서 p를 끊으면 증명이 완료되므로 P가 y를 포함하지 않는다고 가정할수있다.
그러면 P는 compact(따라서 closed) 하므로 y는 P의 limit point도 될수없다.

S=(P intersection U)라 하자.
만약 X(y)가 X(S)의 limit point 라면 y가 S의(곧 P의) limit point가되므로 모순,
따라서 X(y)와 X(S)의 각 점들 사이 거리의 infimum이 양수로 존재하고 S가 closed in U(따라서 X(S)가 closed in Rⁿ)이므로 이 infimum은 최솟값이다.
이 최솟값은 X(p(t*))에서 가져진다고 하자.

X(y)와 X(p(t*))를 선분 L로 잇고 X^-1로 M위로 되돌리자.(chart image를 Rⁿ으로 잡은 이유가 L을 되돌리는것이 가능하도록 만들기 위해서였음)
만약 X^-1(L)이 S와 p(t*)가 아닌 점 p(s)에서 교차 한다면 X(p(s))는 기존의 X(y)와 X(S) 사이 최단 거리보다 exactly 짧으므로 모순이다.(P중 S가 아닌 부분과의 교차는 에초에 생기지 않는다. X^-1(L)은 U의 부분집합이므로)
따라서 L은 P와 p(t*)에서만 교차하고 곧 p를 a에서 p(t*) 까지 자른 부분과 X^-1(L)을 이은 arc는 arc from a to y를 이룬다. 곧 y in A이므로 A는 closed.

open :
x in A라 하자.
x주변의 chart (U,X)를 잡자.
임의의 y in U에 대해 closed 증명때처럼 from a to y arc를 생성할수있다.(초기 상황이 아예 같다. 한 chart 안에 A의 원소인 x와 새로운 끝점이길 바라는 y가 동시에 존재한다.) 따라서 open.


한번만 판독해주시면 그랜절을사정업시박겟슨..