[중고딩문제] 수능특강 문제 출제오류인가요 이거

[익명(118.235)]

임의의 삼차함수 f에 대하여

f는 전사(surjective)함수이므로

모든 실수 x에 대하여 f(t)=x인 실수 t가 존재한다.

따라서 모든 실수 x에 대하여 f(g(x))=x인 함수 g는 항상 존재하므로 f가 역함수를 가진다고

말할 수 없는 거 아닌가요?

- dc official App

[연쵸(solstice4649)]

너가 쓴 글을 다시 읽어 - dc App

[익명(118.235)]

논리에 문제가 발견되지않는거같아서요 - dc App

[익명(118.235)]

f(g(x))=g(f(x))=x여야 역함수라 할 수 있는 것 아닌가요? - dc App

[익명(118.235)]

삼차함수에한정해서는, f(g(x))=x를 만족하는 g는 f가 역함수가있든 없든 항상 존재하는거같아서요. 집합 A_x:= {t : f(t)=x}가 원소가 3개이하인 공집합이 아닌 유한집합이므로 최대원소가 존재하고, g(x):=max(A_x)라 하면 f(g(x))=x잖아요 - dc App

[익명(118.235)]

공식문제해설에서는 (가)로부터 f가 역함수를 가진다고 하고풀고있는데, 이게잘못되지않았냐고 질문하고있는거에요 - dc App

[연쵸(solstice4649)]

@ㅇㅇ(118.235) 문제가 좀 삐리하네 (나) => a=1,-2이고 a값에 대응되는 f가 2가지고 하나는 순증가 다른 하나는 극대극소가짐 순증가 쪽이 요지같은데 (가)를 병신처럼 쓴 게 맞는긋 - dc App

[카카오M(kakaothh)]

역함수가 되려면 전단사여야되는데 단사 조건은 어디있나요?

[익명(118.235)]

그래서 출제오류인지 묻고있는거에요. 문제에 단사조건이없어요 - dc App

[익명(118.235)]

공식 문제풀이에서는 (가)로부터 f가 역함수가진다고 하고풀어버려요 - dc App

[익명(1.227)]

1. (가) 조건에 의해서 무조건 f는 역함수 가져야함. = 전단사 함수임. 엄밀한 증명까지 파고들어가는건 쉽지않지만 다항함수만 다루는 수2 교육과정에선 저렇게 배움. 교과서에도 나오는 내용임.

[익명(1.227)]

2. "모든 실수 x에 대하여 f(t)=x인 실수 t가 존재한다." 라고 했을때, t = g(x) 라고 해보자고. 만약 g가 전단사가 아니라면, 예를들어 2차 함수처럼 생겼다면 특정 t값을 나오게 하는 x가 두개여야겠지? 그럼 그 x값을 a,b라고 해볼게. 즉 g(a)=t / g(b)=t 인 거임. 근데 조건에 의해 f(g(x))=x 이고, f(g(a))=a / f(g(b))=b 가 됨. 즉 f(t)=a 이면서 동시에 f(t)=b 가 됨. 그말인즉슨, a=b가 됨으로, 결국엔 t=g(x)를 만족하는 서로다른 x값이 존재할 수 없음. 즉 전단사 함수가됨. ㅇㅋ?

[익명(1.227)]

@ㅇㅇ(1.227) 반대로 그럼 f가 전단사가 아니라고 해보자고. 2차함수를 예를들어보면 축을 기준으로 대칭인 두점 f(a)=k, f(b)=k 이 존재하겠지? 주어진 조건 f(g(x))=x 를 만족하려면 합성할 함수는 g(k)=a, g(k)=b가 되야함. 이는 함수의 정의에 어긋남.

[카카오M(kakaothh)]

@ㅇㅇ(1.227) 이상한 풀이네요. t=g(x)라고 하려면 저런 g(x)가 존재함부터 이야기해야되는데, 존재한다 가정해버리고 g가 2차함수처럼 생겼다면 오류가 생긴다니.. 마지막줄에 g(k)=a, g(k)=b여서 함수의 정의에 어긋나니까, g가 존재하지 않는다 라고 결론을 내려야지, f가 전단사다라는 결론을 내리면 안됩니다

[익명(1.227)]

@카카오M 문제에서 조건으로 그런 g(x)가 존재한다고 줬는데요 님아..?

[익명(112.148)]

문제가 한둘이 아님 애초에 2번에서 g가 단사라는 것만 보였는데 전사라는 건 어떻게 알지? 3번에서는 왜 g(k)=a이고 동시에 g(k)=b라는 결론이 나오지? 그냥 둘 중 하나기만 하면 f(g(x))=x가 문제없이 만족됨

[카카오M(kakaothh)]

@ㅇㅇ(1.227) 아, 문제를 대충읽었네요, 해당부분은 제가 잘못쓴거에요. 하지만 그럼에도 이풀이는 맞을수가 없어요. a=1 인 경우에, onto이기 때문에 그런 g는 존재하고, f(1)=5 이지만 전단사가 아니에요. 이건 문제 오류인듯

[카카오M(kakaothh)]

@카카오M 일반적으로 f(g(x))=x 일때, f는 onto이고 g는 1-1이에요. 그래서 1-1이 아니라고 가정하면 당연히 모순이 나옴. 112.148님이 말한거처럼 g가 1-1이라는건 증명가능하지만 g가 onto인걸 증명할 수 없음

[익명(1.227)]

@ㅇㅇ(112.148) f가 3차함수인데 g가 전사가 아닐수가 있나?ㅁ그리고 g(k)=a, g(k)=b 둘중 하나만 성립할수도 있다는건 나도 미처 생각 못하긴 했네. g(f(x))=f(g(x)) 라는걸 안줘서 문제가 생기는구나.

[익명(1.227)]

@카카오M a=1일때 그런 g가 존재한다고? 그게 잘 이해가 안가는데

[카카오M(kakaothh)]

@ㅇㅇ(1.227) 그런 g 는 f가 onto이면 항상 존재합니다. 지금처럼 구체적으로 함수가 주어진경우는 매우 구체적으로 찾을수도 있어요. a=1 일때 그래프를 그리고 x=y로 대칭한다음 적당히 골라오면되요. 물론 이 경우에 g는 불연속이고 onto가 안될거에요.

[익명(1.227)]

@카카오M 아 뭔소린지 이해됐다 ㄳㄳ 내가 우매했었네;;

[익명(112.148)]

오류 맞음

[익명(112.148)]

f(g(x))=x인 g가 존재한다는 건 f가 전사라는 것과 정확하게 동치임 (선택공리를 전제하면)

[익명(122.43)]

전사함수가 뭐냐

[카카오M(kakaothh)]

f는 삼차다항식이므로 전사임이 당연한데 굳이 (가)를 줬다는것이 이상해요. 심증적으로는 (가)에서 f와 g의 순서가 바뀌는 오타 또는 오류가 났을것임. g(f(x))=x 인 g가 존재한다고 생각하면 풀이도 오류가 없어요.

[수갤러 1(106.101)]

문제오류임 f(x)를 극점 갖게 그린 다음 y=x대칭한 도형을 D라 하자 도형 D 위의 어떤 점의 x값에 두 개 이상의 y값이 대응될 때 가장 작은 y값만 택하는 함수를 정의하고 그 함수를 g(x)라 하면 모든 실수 x에 대해 f(g(x))=x임

[수갤러 1(106.101)]

문제의도는 알겠는데 그럴거면 역함수를 갖는다 라는, '가조건과는 완전히 다른' 조건을 줬어야됨