[일반] 치환적분 질문 드립니다

[익명(211.234)]

위에 식은 그냥 sinx 치환해도 올바르지만 

아래식은 0~pi/2, pi/2 ~ pi 로 쪼개지 않으면 답이 틀리잖아요?

단순하게 계산으로 본다면 

아래식에서 dx=1/(sqrt(1-t^2)) dt 라서 

나눈 구간을 기점으로 부호가 달라지기 때문에 구간을 나누지

않으면 틀린건 알겠는데 

단순 계산으로 알게된거 말고 좀 더 수학적 의미? 같은건 없나요..?

왜 아래는 굳이 일대일 대응 구간으로 나눠야만 하나요..?

[익명(118.33)]

첫 식을 그냥 치환해도 되는게 아니지 아래식이랑 똑같이 범위나눠서 봐야 정확한거지

[익명(118.33)]

u=sinx 라고 치환한다치자. 그럼 x가 0에서 pi까지 움직인다는건 u가 0에서 1까지 갔다가 다시 1에서 0으로 내려온단소리아님. 그러니까 f가 무슨함수든간에 변수 u에 의한 적분구간자체가 int(0 to 1) + int(1 to 0) = int(0 to 1) - int(0 to 1) = 0 이 되는거지

[익명(118.33)]

근데 왜 아래식은 똑같이하면 안되냐? 네가 말한대로 애초에 int f(sinx) dx 라는건 u=sinx 치환을 한다쳐도 피적분함수가 많이 왜곡되잖음 이부분을 기하적으로 이해하려면 내가 아까 한말을 좀더 정확히 해야함. 내가 앞서 u=sinx로 치환하면 x가 0→π 로 움직임에 따라, u는 0→1→0 로 움직인다고 했는데, 사실은 u가 "사인함수의 증분을 따라서" 0→1→0 로 움직인다고 해야 정확한거임. 원래라면 y=x 의 증분(=1)을 따라서 적분변수(가령 t)가 0→1→0 으로 움직여야 int(0 to 1) f(t)dt + int(1 to 0) f(t)dt 인거고.

[익명(118.33)]

사인함수의 증분을 따라서 움직이는게 뭔데 ㅅㅂ 라는 질문이 있을수있음. 사인함수 그래프를 따라서 x=0부터 x=pi 까지 점이 움직인다고 생각해봐봐. 대신 x좌표가 증가하는 속력은 일정해야함.(왜냐하면 x에 대한 적분이니까) 그럼 점이 등속도로 움직이겠음? 아니지. 사인함수 기울기가 가파를수록 y좌표 방향 움직임은 빨라질거아님. 그런데 우리가 u=sinx 라고 치환한다는건 결국 u를 적분변수로 두고 적분하겠단 소리고, 이건 다시말해 u가 움직이는 속력을 일정하게 맞춰줘준 상태에서의 적분값이란말이야. 우리가 구해야할건 u의 속력이 사인함수의 기울기에 따라 마구 변하고있잖아. 그 부분에 대한 보정을 해줘야지.

[익명(118.33)]

바로 그 보정이 du=cosxdx 라는 등식으로 이뤄지는거고 첫번째 식은 정말 우연히도 cosx가 붙어있으니까 그렇게 치환하면 u라는 관점에서 봤을때 상황이 아주 간단해지지. 특히 적분영역이 0→1→0 을 따라 원점으로 돌아온다는 어드벤티지도 써먹을수 있고. 하지만 두번째의 경우는 님이 말한대로 보정이 피적분함수 안으로 들어오니까 그걸 고려해야하고, 고려한 결과 간단한 상황이 아니게되는거지 실제로 f(x)=x 일 때 적분값은 0 이고 f(x)=x²일 때 적분값이 pi/2 니까 예쁘게 정리될리도 없고

[수갤러 1(211.234)]

@ㅇㅇ(118.33) 오 감사합니다 그럼 일반적으로 f(g(x))g’(x)dx 같이 치환적분 꼴은 항상 보정돼서 그냥 치환해도 되는거 맞나요? 아니면 본문의 sinx 가 특이케이스인가요?

[익명(118.33)]

@수갤러1(211.234) g랑 f가 연속 미분가능 도함수연속 등등 정상적인 함수이고 g(a)=g(b) 이면 int_(a to b) f(g(x))g'(x)dx = 0 임. g라는 함수를 하나의 경로로 생각하고 그 경로가 닫힌경로(처음과 끝이 같은 점인) 라고 생각하고, 그런 경로위에서 f를 적분한다고 생각하면 기하적으로도 그럴법 하네 생각이 들거임.

[익명(mzdrg)]

두번째 경우 치환은 사실상 x=arcsint으로 치환한거임. 그렇기 때문에 그 치역을 고려해서 구간을 나눠야됨. 근데 알다시피 사인함수는 어차피 주기적이고 대칭적이기에 그 역함수의 differential도 주기적이어서 그냥 똑같이 써먹어도 되는거임. 마찬가지로 똑같이 첫번째 경우도 x=arcsint로 치환해서 풀수도 있음. 다만 구태여 굳이 그렇게 닭잡으려고 소칼 안쓸뿐인거임. 사실상 f(t)dt 꼴인 간단한 경우니까. 반대로 두번째 경우는 아이러니하게도 피적분 함수 꼴이 훨씬 복잡한거고

[익명(211.235)]

좀더 수학적인 의미라 한다면.. 뭐.. 애초에 어떤 함수를 치환할때 그 함수가 그 지점에서 존재하는지, 연속인지 등등 다 따져봐야하니까 그런거

[익명(223.38)]

해석학 배우면 알 수 있다