기출을 풀다가 서술형에서 증명 문제를 만났는데 뭐 양수 abcd에 대해 a(1-b), b(1-c), c(1-d), d(1-a) 가 a=b=c=d가 아닐경우에는 적어도 하나는 ¼보다 작은것을 보여라 뭐 이런거거든요
그래서 모두 다 ¼이상이라고 둔 뒤 이 부등식들이 a=b=c=d일때만 모두 성립하는것을 보여야 했는데 그냥 느낌상 a가 ½이하라고 하면 1-b의 범위가 정해지고 그렇게 쭉쭉가다보면 d의 범위가 정해지고 그걸로 또 마지막 부등식에서 1-a의 범위를 보면 겹치는 부분이 a=½만 있다 뭐 이렇게 하긴했습니다
근데 뭔가 증명이 이런식으로 감적?으로 될것같지는 않고 문제의 의도는 식변형을 막 하라는거 같던데 이거 부등식으로 다르게 증명해주실수 있나요
그걸 대우 증명이라고 부르고, 증명 흐름은 대수적으로 조작하는거 보다 훨씬 직관적이고 좋은듯. 논리적으로 잘만 서술했다는 가정하에.
좀더 대수적으로 보려면 a^2+...+d^2-ab-...-da=1/2[(a-b)^2+...+(d-a)^2]임을 고려해보셈. 그러면 a=b=c=d가 아닐때, 저 4개의 평균이 1/4보다 작다는걸 얻을수 있을거임
대충 a, b = c = d 이렇게 나눠서 풀면 b 유일한 해가 1/2 나오고, a != b 조건 충족시키면 a > 1/2 만족해야하는데 , d(1-a) 에서 1/4 보다 작아야함, 이걸 모든 a b c d 에서 똑같으므로 대충 이런식으로 ㄱㄱ