1ebec223e0dc2bae61abe9e74683726d35d5aecbee7c8ba893a16120e4a99f3e32fe58262d717a05e62f31ac1fa6c7

먼저 제 풀이를 보여주면서
지적받은 포인트들을 보여드릴게요.

[제 풀이]

준식을 x에 대한 이차식으로 보고 x에 대한 내림차순으로 정리하면

x²+(2y-1)x+ay²+y-2

준식=0이라는 방정식을 설정하여
x에 대한 근의공식을 써서 나온 두 근
x=(1-y)+-루트((y-1)²-ay²-y+2)에 대하여

a=(1-y)+루트((y-1)²-ay²-y+2)
b=(1-y)-루트((y-1)²-ay²-y+2)
라 하면

준식은 (x-a)(x-b)로 인수분해됨을 알 수 있다.

1.여기서 a와 b가 x,y에 대한 일차다항식이어야하므로
2.루트((y-1)²-ay²-y+2)가
y에 대한 일차다항식이어야 한다.

3.따라서 ((y-1)²-ay²-y+2)가 완전제곱식이 되어야하므로
전개한 식 (1-a)y²-3y+3의 판별식이 0이 되어야 한다.

따라서 판별식 D=9-4*3*(1-a)=12a-3=0이므로,
a=1/4이다.






1에 대한 지적 :
왜 a와 b가 x,y에 대한 일차다항식이어야 하는 지 증명하지 않았다.

명제
[a,b가 x y에 대한 일차다항식 => 준식이 x,y에 대한 두 일차식의 곱으로 인수분해 가능]

는 전건이 참일때
a,b가 x,y에 대한 일차다항식이므로
(x-a) , (x-b) 역시 x,y에 대한 일차다항식이 되어 참임을 자명하게 알 수 있는데,

이 풀이에서 사용한 논리는

역 명제

[준식이 x,y에 대한 두 일차식의 곱으로 인수분해 가능 =>
a,b가 x,y에 대한 일차다항식]

가 참임을 사용한 것이고, 풀이가 타당하려면
해당명제에 대한 증명이 필요하다.
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2에 대한 지적 :
루트((y-1)²-ay²-y+2)가
y에 대한 일차다항식이어야
하는 이유를 증명하지 않았다.

명제
[루트((y-1)²-ay²-y+1)가 y에 대한
일차다항식 => a와 b가 x,y에 대한 일차다항식]

는 전건이 참일때,

a=(1-y)+루트((y-1)²-ay²-y+2)
b=(1-y)-루트((y-1)²-ay²-y+2)
이므로
a와 b는 자명히 y에 대한 일차다항식이고,
따라서 a와 b는 x,y에 대한 일차다항식이다.

하지만 이 풀이는

역 명제

[a와 b가 x,y에 대한 일차다항식
=>루트((y-1)²-ay²-y+1)가
y에 대한 일차다항식]

가 참임을 사용한 것이므로

풀이가 타당하려면
해당 명제에 대한 증명이 필요하다.

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3에 대한 지적 :
왜 (y-1)²-ay²-y+2가 완전제곱식이어야 하는 지 증명하지 않았다.

해당 풀이는

명제
[루트((y-1)²-ay²-y+2)가 y에 대한 일차다항식
=> (y-1)²-ay²-y+2)가 완전제곱식]

가 참임을 사용한 것이므로

해당 명제에 대한 증명이 필요하다.

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