[일반] 제가 추측 만들었는데 증명좀?

[금요일(210.217)]

x(10^y)+k 이때 x는 1부터 9까지의 자연수, y는 자연수, k는 x(10^y)보다 작은 자연수.

k부터 1까지의 값이 모두 합성수인 x,y해가 항상 존재한다.

예시)

k=5일때

x=2, y=2라면

2(10^2)+1=201

2(10^2)+2=202

2(10^2)+3=203

2(10^2)+4=204

2(10^2)+5=205

이 모두 합성수이므로 k가 5일때 참이다.

[익명(rmflvltm910)]

베르트랑 공준에 의해 거짓입니다

[금요일(210.217)]

조금 더 자세하게 설명 가능한가요?

[익명(rmflvltm910)]

베르트랑 공준에 의해 n~2n 사이에는 항상 소수가 존재하므로 k=x*10^y-1일 때 x*10^y+1에서 x*10^y+k 중 소수 존재 (x*10^y와 2x*10^y는 y=0이 아닌이상 항상 합성수)

[금요일(210.217)]

@ㅇㅇ 죄송하지만 k에 따른 x와 y의 값을 구하는 것 이므로 k를 x와 y를 이용해 증명하는건 맞지 않는것 같습니다.

[익명(rmflvltm910)]

지금보니 아래 댓글처럼 조건이 좀 이상한거같은데 임의의 k가 주어진 상태에서, k<x*10^y이면서 조건들을 만족하는 x,y를 찾는건가요? 그러면 Euler's thm 써서 다음과 같이 가능하겠네요 k가 주어져있을 때, N:=((k+10) 이하 소수를 2,5 빼고 다 곱한 수) x=1, y=φ(N)+1 Euler에 의해 10^y-10=10(10^φ(N)-1)은 2,5,N의 배수이므로 (k+10) 이하 모든 소수의 배수이고 1~k 사이 모든 m에 대해 10^y+m=(10^y-10)+(m+10)은 m+10의 소인수의 배수라 합성수

[익명(rmflvltm910)]

만약 k>10^y가 (가능한진 모르겠지만) 발생한다면 y를 그냥 φ(N)+1 대신 아무 큰 L에 대해 Lφ(N)+1로 잡기 가능

[금요일(210.217)]

@ㅇㅇ 네 k가 주어졌을때 1부터 k가 모두 합성수인 x,y해를 찾는것 입니다.

[금요일(210.217)]

@ㅇㅇ 정확하지는 모르지만 쳇지피티 쓰니 "10^y-10이 (k+10) 이하의 모든 소수의 곱으로 나뉜다는 사실은, m+10의 임의의 소인수가 10^y-10을 나눈다는 결론을 보장하지 않는다."라고 하는데요...

[익명(rmflvltm910)]

@금요일(210.217) 음? m+10의 소인수면 m+10<=k+10 이하의 소수니까 10^y-10을 나누는거 맞자나요

[수갤러 1(119.202)]

k에 대한 추측인 거임, x와 y에 대한 추측인 거임?